등각 켤레점

등각 켤레점

등각 켤레점을 취하는 변환

기하학에서 등각 켤레점(等角-點, 영어: isogonal conjugate point)은 주어진 점과 주어진 삼각형의 각 꼭짓점을 잇는 직선을 삼각형의 각 내각 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선들의 교점이다.

정의

삼각형 $ABC$의 한 꼭짓점 $A$ (또는 $B$ 또는 $C$)를 지나는 직선의 등각 켤레선(等角-線, 영어: isogonal (conjugate) line)은 그 직선을 내각 $\angle A$ (또는 $\angle B$ 또는 $\angle C$)의 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선이다. 등각 켤레선의 등각 켤레선은 자기 자신이므로, 두 직선이 서로 등각 켤레선이라고 하기도 한다. 즉, 삼각형 $ABC$의 한 꼭짓점 $A$를 지나는 등각 켤레선은 다음 두 조건을 만족시키는 두 직선 $AP$와 $AQ$를 뜻한다.

• 둘 다 삼각형의 내부를 지나거나, 둘 다 삼각형의 내부를 지나지 않는다.
• $\angle PAB=\angle QAC$ (즉, $\angle PAC=\angle QAB$)

삼각형 $ABC$ 및 같은 평면 위의 점 $P$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 세 직선 $AP$, $BP$, $CP$의 등각 켤레선은 한 점 $P'$에서 만난다. 이 점을 삼각형 $ABC$에 대한 점 $P$의 등각 켤레점이라고 한다. 등각 켤레점의 등각 켤레점은 자기 자신이므로, 두 점 $P$와 $P'$이 서로 등각 켤레점이라고 하기도 한다.

증명:

AP, BP, CP와 BC, CA, AB의 교점을 D, E, F라 하고, AP, BP, CP를 각각 각 A, B, C에 대해 각대칭시킨 세 직선과 BC, CA, AB의 교점을 D', E' F'이라 하자. 삼각형 ABC와 점 P에 대해 각체바 정리를 쓰면,

${\frac {sin\angle {BAD}}{sin\angle {CAD}}}*{\frac {sin\angle {CBE}}{sin\angle {ABE}}}*{\frac {sin\angle {ACF}}{sin\angle {BCF}}}=1$

AD, BE, CF와 AD', BE', CF'은 각대칭이므로 다음이 성립한다.

${\frac {sin\angle {CAD'}}{sin\angle {BAD'}}}*{\frac {sin\angle {ABE'}}{sin\angle {CBE'}}}*{\frac {sin\angle {BCF'}}{sin\angle {ACF'}}}=1$

따라서 각체바 정리의 역에 의해 AD', BE', CF'은 한 점 Q에서 만난다.

성질

삼각형 $ABC$에 대한 등각 켤레점 $P$와 $P'$이 주어졌다고 하자. 점 $P$를 삼각형의 각 변 $BC$, $CA$, $AB$에 반사시켜 얻는 점을 $X$, $Y$, $Z$라고 하자. 그렇다면 삼각형 $XYZ$의 외심은 $P'$이다.

등각 켤레점의 수족 삼각형의 외접원은 일치하며, 그 중심은 두 등각 켤레점의 중점이다. 즉, 삼각형 $ABC$ 및 등각 켤레점 $P$와 $P'$가 주어졌다고 하자. 점 $P$에서 세 변 $BC$, $CA$, $AB$에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라고 하고, 점 $P'$에서 세 변 $BC$, $CA$, $AB$에 내린 수선의 발을 각각 $D'$, $E'$, $F'$라고 하자. 그렇다면 두 수족 삼각형의 6개의 꼭짓점 $D$, $E$, $F$, $D'$, $E'$, $F'$은 $P$와 $P'$의 중점 $M$을 중심으로 하는 원 위의 점이다.^{:67, §7.4, (viii)}

증명:

대칭성에 따라 $F'$, $F$, $E$, $E'$이 $M$을 중심으로 하는 원 위의 점임을 증명하는 것으로 충분하다. 직선 $AP$와 $E'F'$의 교점을 $Q$라고 하자. $A$, $E'$, $P'$, $F'$은 한 원 위의 점이므로

$\angle F'AQ=\angle E'AP'=\angle E'F'P'$

이다. 따라서 직선 $AQ$는 $E'F'$의 수선이며, 삼각형 $AFP$와 $AQF'$, 삼각형 $AEP$와 $AQE'$은 닮음이다. 따라서

$AF\cdot AF'=AP\cdot AQ=AE\cdot AE'$

이며, 방멱의 성질에 따라 $F'$, $F$, $E$, $E'$은 한 원 위의 점이다. $M$은 선분 $PP'$의 중점이며 직선 $PF$와 $P'F'$, 직선 $PE$와 $P'E'$은 평행하므로 $M$은 선분 $FF'$과 $EE'$의 수직 이등분선의 교점이다. 즉, $M$은 네 점 $F'$, $F$, $E$, $E'$을 지나는 원의 중심이다.

드로츠파르니 원

삼각형 $ABC$ 및 등각 켤레점 $P$와 $P'$가 주어졌다고 하자. 점 $P$를 지나는 변 $BC$, $CA$, $AB$의 수선의 발을 $D$, $E$, $F$라고 하고, 점 $P'$을 지나는 변 $BC$, $CA$, $AB$의 수선의 발을 $D'$, $E'$, $F'$라고 하자. 점 $D$, $E$, $F$를 중심으로 하고 점 $P'$을 지나는 원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 각각 두 점 $U$와 $V$, $W$과 $X$, $Y$과 $Z$에서 만난다고 하자. 마찬가지로 점 $D'$, $E'$, $F'$를 중심으로 하고 점 $P$을 지나는 원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 각각 두 점 $U'$와 $V'$, $W'$과 $X'$, $Y'$과 $Z'$에서 만난다고 하자. 그렇다면 6개의 점 $U$, $V$, $W$, $X$, $Y$, $Z$는 점 $P$를 중심으로 하는 한 원 위의 점이며, 다른 6개의 점 $U'$, $V'$, $W'$, $X'$, $Y'$, $Z'$은 점 $P'$을 중심으로 하는 한 원 위의 점이다. 또한 이 두 원의 반지름은 같다. 이 두 원을 등각 켤레점 $P$와 $P'$의 드로츠파르니 원(영어: Droz-Farny circles)이라고 한다.^{:71, §7.4, (ix)}

증명:

점 $P$와 $P'$의 중점을 $M$이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}PU^{2}&=PD^{2}+DU^{2}\\&=PD^{2}+{DP'}^{2}\\&=(PM^{2}+DM^{2}-2PM\cdot DM\cdot \cos \angle PMD)+(P'M^{2}+DM^{2}-2\cdot P'M\cdot DM\cdot \cos \angle P'MD)\\&={\frac {1}{2}}{PP'}^{2}+2DM^{2}\end{aligned}}$

첫째 등호는 피타고라스 정리, 둘째 등호는 점 $U$의 정의, 셋째 등호는 코사인 법칙에 따른다. $DM$은 점 $P$와 $P'$의 수족 삼각형의 공통 외접원의 반지름이므로, 점 $P$와 $P'$에만 의존한다. 따라서 $PU$는 점 $P$와 $P'$에만 의존하며, $U$를 남은 5개의 점 가운데 하나로 대체하여도 결과는 같다.

예

다음과 같은 두 점의 쌍들은 등각 켤레점이다.

• 외심과 수심^{:71, §7.4, (ix)}
• 내심과 자기 자신
• 무게 중심과 대칭 중점^{:57, §7.3}

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Isogonal conjugate”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Isogonal line”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• van Lamoen, Floor. “Isogonal transform”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Droz-Farny circles”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “First Droz-Farny circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Second Droz-Farny circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.