드 지터 공간

수학과 물리학에 있어서, $dS_n$로 표기되는 n차원 드지터 공간이란, n차원 구면의 로런츠 연속체이다. 그 계랑 텐서는 정준 리만 메트릭이다. 이것은 양의 곡률을 갖는 대칭적인 로런츠 다양체이며, n≥3이면 단일연결공간이다.

일반 상대성 이론의 용어로 말하자면, 드지터 공간은 최대로 대칭적이며 우주 상수 $\Lambda$의 크기가 양인(repulsive), 아인슈타인 중력장 방정식의 진공 해이다(이것은 양의 진공 에너지 밀도와 음의 압력에 관련되어 있다). "n"=4일 때, 물리적인 우주로서의 우주론적 모델이기도 하다. (드지터 우주 참조)

드지터 공간은 1917년에 빌렘 드지터에 의해, 또한 독립적으로 툴리오 레비치비타에 의해 발견되었다.

최근에는, 본래 특수 상대성 이론의 골자로서 민코프스키 공간이 이용된 것을, 이 드지터 공간을 새로이 이용해서 드지터 상대성이라는 형식을 세우는 것이 일각에서 고려되고 있다.

정의

드지터 공간은 고차원 민코프스키 공간의 부분 다양체로서 정의된다. 표준 계량으로서 R^1,n 을 갖는 민코프스키 공간을 생각하자.

$ds^2 = -dx_0^2 + \sum_{i=1}^n dx_i^2.$

드지터 공간은 하나의 쌍곡면으로 표현되는 부분다양체이다

$-x_0^2 + \sum_{i=1}^n x_i^2 = \alpha^2$

여기서$\alpha$는 길이의 차원을 가지는 양의 상수이다. 드지터 공간의 계랑은 ambient 민코프스키 계량으로부터 유도된다. 유도된 계량(induced metric)이 축퇴하지 않았으며 로런츠 계량 부호수를 가지고 있다는 사실은 쉽게 확인할 수 있다. (만약 위의 정의에서 $\alpha^2$ 을 $-\alpha^2$ 으로 바꿔버리면, 2장의 쌍곡면이 얻어진다. 이 경우의 유도된 계량(induced metric)은 positive-define하며, 각각의 쌍곡면들은 n차원 쌍곡면 공간의 복제이다.)

드지터 공간은 두 개의 무한 직교군의 상공간 O(1,n)/O(1,n−1) 으로도 정의되는데, 이것은 이것이 비 리만 대칭적인 공간이라는 것을 의미한다. 토폴로지에서, 드지터 공간은 R × Sⁿ⁻¹로 기술된다. (때문에 n ≥ 3 일 경우에 드지터 공간이 단연결 공간 인 것이다).

성질

드 지터 공간의 등거리변환군은 O(1,n) 로런츠 군이다. 그러므로 계랑은 n(n+1)/2 개의 독립적인 킬링 벡터를 가지며, 최대로 대칭적이다(maximally symmetric). 모든 최대 대칭 공간은 일정한 곡률을 갖는다. 드지터 공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.

$R_{\rho\sigma\mu\nu} = {1\over \alpha^2}(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu} - g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu})$

리치 텐서가 계량에 비례하기 때문에, 드지터 공간은 아인슈타인 다양체이다.

$R_{\mu\nu} = \frac{n-1}{\alpha^2}g_{\mu\nu}$

따라서, 드 지터 공간은 다음과 같은 우주 상수 $\Lambda$를 갖는, 아인슈타인 방정식의 진공해이다.

$\Lambda = \frac{(n-1)(n-2)}{2\alpha^2}.$

드 지터 공간의 스칼라 곡률은 다음과 같다.

$R = \frac{n(n-1)}{\alpha^2} = \frac{2n}{n-2}\Lambda.$

4차원 드 지터 공간의 경우 $\Lambda=3/\alpha^2$, $R=4\Lambda=12/\alpha^2$이다.

정적(静的) 좌표(static coordinates)

드지터 공간의 정적 좌표로서 $(t, r, \ldots)$ 을 다음과 같이 놓을 수 있다.

$x_0 = \sqrt{\alpha^2-r^2}\sinh(t/\alpha)$

$x_1 = \sqrt{\alpha^2-r^2}\cosh(t/\alpha)$

$x_i = r z_i \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 2\le i\le n.$

여기서 $z_i$은 Rⁿ⁻¹ 안에서의 표준 매장으로서의 (n−2)차원 구면을 나타낸다. 이들 좌표를 가지고, 드지터 계랑을 다음과 같이 기술할 수 있다.

$ds^2 = -\left(1-\frac{r^2}{\alpha^2}\right)dt^2 + \left(1-\frac{r^2}{\alpha^2}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega_{n-2}^2.$

여기서 $r = \alpha$까지가 관측 가능한 우주(우주론적 지평선)이라는 것에 주목하자.

참고 문헌

• (영어) Moschella, Ugo (2006년). 〈The de Sitter and anti-de Sitter sightseeing tour〉, 《Einstein, 1905–2005. Poincaré Seminar 2005》, Progress in Mathematical Physics 47, Springer, 120–133쪽. doi:10.1007/3-7643-7436-5_4. ISBN 978-3-7643-7435-8
• (영어) Bousso, Raphael (2003년 10월). 〈Adventures in de Sitter space〉, 《The future of theoretical physics and cosmology: Celebrating Stephen Hawking's Contributions to Physics》. Cambridge: Cambridge University Press, 539–569쪽. arXiv:hep-th/0205177. Bibcode: 2003ftpc.book..539B. ISBN 978-052182081-3
• (영어) Kim, Yoonbai, Chae Young Oh, Namil Park (2002년). Classical geometry of de Sitter spacetime: an introductory review. arXiv:hep-th/0212326. Bibcode: 2002hep.th...12326K.
• (영어) Spradlin, Marcus, Andrew Strominger, Anastasia Volovich (2001년). Les Houches lectures on de Sitter space. arXiv:hep-th/0110007. Bibcode: 2001hep.th...10007S.
• (영어) Klemm, Dietmar, Luciano Vanzo (2004년 11월). Aspects of quantum gravity in de Sitter spaces. 《Journal of Cosmology and Astroparticle Physics》 2004 (11): 6. doi:10.1088/1475-7516/2004/11/006. arXiv:hep-th/0407255. Bibcode: 2004JCAP...11..006K. ISSN 1475-7516.

같이 보기

• 반 드지터 공간
• 드지터 우주
• dS/CFT 대응성
• 드지터-슈바르트실트 우주
• 쌍곡면