뒤발 특이점

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대수기하학에서, 뒤발 특이점(영어: du Val singularity) 또는 클라인 특이점(영어: Kleinian singularity)은 복소 대수 곡면특이점의 한 종류다. 이들은 최소분해(영어: minimal resolution)가 존재하며, 이는 ADE형의 딘킨 도형(영어: Dynkin diagram)으로 분류된다.

역사[편집]

영국의 패트릭 뒤발(영어: Patrick du Val)[1] 과 독일의 펠릭스 클라인의 이름을 땄다. 뒤발은 1934년에 이 특이점들을 연구하였다.[2][3][4]

분류[편집]

뒤발 특이점은 ADE형의 딘킨 도형(Dynkin diagram)에 의하여 분류된다.

뒤발 특이점은 다음과 같은 꼴이다. 여기서 w,x,y\in\mathbb C는 복소 변수이며, 이들은 \mathbb C^3 속에 복소 2차원 아핀 대수다양체를 이룬다. 이 대수 곡면들은 w=x=y=0에 특이점을 가진다.

  • An: w^2+x^2+y^{n+1}=0
  • Dn:  w^2+y(x^2+y^{n-2}) = 0 (n≥4)
  • E6: w^2+x^3+y^4=0
  • E7:  w^2+x(x^2+y^3)=0
  • E8:  w^2+x^3+y^5=0.

이들은 \mathbb C^2SL(2;\mathbb C)의 유한 부분군의 작용으로 몫공간을 취한 것으로 볼 수 있다. SL(2;\mathbb C) (또는 SU(2))의 부분군들은 이진다면체군(영어: binary polyhedral group)이라고 불리며, 이들에 대한 ADE 분류가 존재한다. (이를 매케이 대응성(영어: McKay correspondence)이라고 한다.[5]) 이에 따라, 뒤발 특이점 또한 ADE로 분류된다. 여기서 "이진"이란 SU(2)=Spin(3)는 SO(3)의 이중피복군이므로, 이진다면체군은 SO(3)의 부분군(다면체군)의 이중피복에 해당하기 때문이다. 이들은 (SO(3)의 부분공간으로서) 다음과 같다.

ADE 분류 SO(3) 부분군
An n+1차 순환군 Z_{n+1}
Dn 2n정이면체군 \operatorname{Dih}_{n}
E6 정사면체군 (정사면체의 대칭군)
E7 정팔면체군 (정육면체정팔면체의 대칭군)
E8 정이십면체군 (정십이면체정이십면체의 대칭군)

응용[편집]

끈 이론에서는 축소화하는 3차원 복소 다양체에 따라 4차원 물리가 결정된다. 이 3차원 복소 다양체는 오비폴드 꼴의 특이점을 가질 수 있는데, 이는 국소적으로 뒤발 특이점이다. 뒤발 특이점의 딘킨 도형은 4차원 물리의 화살집 도형과 같다. 이는 D-막이 특이점에 감겨 있기 때문이다. D-막의 배열은 뒤발 특이점의 부풀리기의 꼴과 같다.[6] 이는 프레디 카차소(스페인어: Freddy Alexander Cachazo)와 셸던 카츠(영어: Sheldon Katz), 캄란 바파가 2001년에 발견하였다.[7]

참고 문헌[편집]

  1. O’Connor, John J.; Edmund F. Robertson (2010-02). “Patrick Du Val” (영어). 《MacTutor History of Mathematics Archive》. 세인트앤드루스 대학교. 
  2. du Val, Patrick (1934-10). “On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction (Part I)”. 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 30 (4): 453–459,. doi:10.1017/S030500410001269X. ISSN 0305-0041. Zbl 0010.17602. 
  3. du Val, Patrick (1934-10). “On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction (Part II)”. 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 30 (4): 460–465. doi:10.1017/S0305004100012706. ISSN 0305-0041. Zbl 0010.17603. 
  4. du Val, Patrick (1934-10). “On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction (Part III)”. 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 30 (4): 483–491. doi:10.1017/S030500410001272X. ISSN 0305-0041. Zbl 0010.17701. 
  5. McKay, John (1980). "Graphs, singularities, and finite groups". Proceedings of 1979 Santa Cruz group theory conference. AMS Symposia in Pure Mathematics 37. pp. 183–186. ISBN 0-8218-1440-0. MR0604577. Zbl 0451.05026
  6. He, Yang-Hui (2004). “Lectures on D-branes, gauge theories and Calabi-Yau singularities” (영어). arXiv:hep-th/0408142. Bibcode:2004hep.th....8142H. 
  7. Cachazo, Freddy; Sheldon Katz, Cumrun Vafa (2001). “Geometric transitions and 𝒩=1 quiver theories” (영어). arXiv:hep-th/0108120. Bibcode:2001hep.th....8120C.