뒤발 특이점

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대수기하학에서, 뒤발 특이점(영어: du Val singularity) 또는 클라인 특이점(영어: Kleinian singularity)은 복소 대수곡면특이점의 한 종류다. 이들은 최소분해(영어: minimal resolution)가 존재하며, 이는 ADE형의 딘킨 도형(영어: Dynkin diagram)으로 분류된다.

역사[편집]

영국의 패트릭 뒤발(영어: Patrick du Val)[1]과 독일의 펠릭스 클라인의 이름을 땄다. 뒤발은 1934년에 이 특이점들을 연구하였다.[2][3][4]

분류[편집]

뒤발 특이점은 ADE형의 딘킨 도형(Dynkin diagram)에 의하여 분류된다.

뒤발 특이점은 다음과 같은 꼴이다. 여기서 w,x,y\in\mathbb C는 복소 변수이며, 이들은 \mathbb C^3 속에 복소 2차원 아핀 대수다양체를 이룬다. 이 대수곡면들은 w=x=y=0에 특이점을 가진다.

  • An: w^2+x^2+y^{n+1}=0
  • Dn:  w^2+y(x^2+y^{n-2}) = 0 (n≥4)
  • E6: w^2+x^3+y^4=0
  • E7:  w^2+x(x^2+y^3)=0
  • E8:  w^2+x^3+y^5=0.

이들은 \mathbb C^2SL(2;\mathbb C)의 유한 부분군의 작용으로 몫공간을 취한 것으로 볼 수 있다. SL(2;\mathbb C) (또는 SU(2))의 부분군들은 이진다면체군(영어: binary polyhedral group)이라고 불리며, 이들에 대한 ADE 분류가 존재한다. (이를 매케이 대응성(영어: McKay correspondence)이라고 한다.[5]) 이에 따라, 뒤발 특이점 또한 ADE로 분류된다. 여기서 "이진"이란 SU(2)=Spin(3)는 SO(3)의 이중피복군이므로, 이진다면체군은 SO(3)의 부분군(다면체군)의 이중피복에 해당하기 때문이다. 이들은 (SO(3)의 부분공간으로서) 다음과 같다.

ADE 분류 SO(3) 부분군
An n+1차 순환군 Z_{n+1}
Dn 2n정이면체군 \operatorname{Dih}_{n}
E6 정사면체군 (정사면체의 대칭군)
E7 정팔면체군 (정육면체정팔면체의 대칭군)
E8 정이십면체군 (정십이면체정이십면체의 대칭군)

응용[편집]

끈 이론에서는 축소화하는 3차원 복소 다양체에 따라 4차원 물리가 결정된다. 이 3차원 복소 다양체는 오비폴드 꼴의 특이점을 가질 수 있는데, 이는 국소적으로 뒤발 특이점이다. 뒤발 특이점의 딘킨 도형은 4차원 물리의 화살집 도형과 같다. 이는 D-막이 특이점에 감겨 있기 때문이다. D-막의 배열은 뒤발 특이점의 부풀리기의 꼴과 같다.[6] 이는 프레디 카차소(스페인어: Freddy Alexander Cachazo)와 셸던 카츠(영어: Sheldon Katz), 캄란 바파가 2001년에 발견하였다.[7]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) O’Connor, John J.; Edmund F. Robertson (2010년 2월). Patrick Du Val. 《MacTutor History of Mathematics Archive》. 세인트앤드루스 대학교.
  2. du Val, Patrick (1934년 10월). On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction (Part I). 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 30 (4): 453–459,. doi:10.1017/S030500410001269X. Zbl 0010.17602. ISSN 0305-0041.
  3. du Val, Patrick (1934년 10월). On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction (Part II). 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 30 (4): 460–465. doi:10.1017/S0305004100012706. Zbl 0010.17603. ISSN 0305-0041.
  4. du Val, Patrick (1934년 10월). On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction (Part III). 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 30 (4): 483–491. doi:10.1017/S030500410001272X. Zbl 0010.17701. ISSN 0305-0041.
  5. McKay, John (1980). "Graphs, singularities, and finite groups". Proceedings of 1979 Santa Cruz group theory conference. AMS Symposia in Pure Mathematics 37. pp. 183–186. ISBN 0-8218-1440-0. MR0604577. Zbl 0451.05026
  6. (영어) He, Yang-Hui (2004년). Lectures on D-branes, gauge theories and Calabi-Yau singularities. arXiv:hep-th/0408142. Bibcode2004hep.th....8142H.
  7. (영어) Cachazo, Freddy, Sheldon Katz, Cumrun Vafa (2001년). Geometric transitions and 𝒩=1 quiver theories. arXiv:hep-th/0108120. Bibcode2001hep.th....8120C.