동형사상

동형은 여기로 연결됩니다. 삼국지의 등장 인물에 대해서는 동형 (후한) 문서를 참조하십시오.

수학에서 일대일 대응 $f$가 동형사상(同型寫像)이라는 것은 $f$와 그 역사상 $f^{-1}$가 준동형사상임을 뜻한다. 어떤 두 대상 사이에 동형사상이 있을 경우 두 대상의 성질은 구조적으로 동일하며, 이 경우 이 두 대상이 서로 동형(同型)이라고 한다.

예

로그함수

밑이 어떤 b로 고정되어 있을 때, 로그함수 $\log_b$는 양의 실수 $\mathbb{R}^+$ 를 실수 전체 $\mathbb{R}$에 대응시킨다. 수학기호를 써서 표현하면,

$\log_b : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} \!$

이 사상은 단사이며, 동시에 전사이다. 즉, 전단사 사상이다.

더불어, 로그함수는 정의역과 치역 각각에서 정의되는 연산도 같이 보존한다. 특히 양의 실수에서 곱셈으로 정의되는 군 $(\mathbb{R}^+,\times)$을 살펴보면, 로그함수는 다음 관계를 만족한다.

$\log_b(x \times y) = \log_b x + \log_b y \!$

실수는 덧셈에 대해서도 군이기 때문에, 로그함수는 군 $(\mathbb{R}^+,\times)$ 에서 군 $(\mathbb{R},+)$로의 동형사상이다.

이것이 실용적으로 뜻하는 것은, 우리가 실수의 곱셈을 더 간단한 실수의 덧셈으로 바꾸어 할 수 있다는 것이다.

함께 보기

• 자기동형사상
• 준동형사상
• 전사준동형사상
• 단사준동형사상
• 등거리변환
• 동형사상 정리