델 페초 곡면

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대수기하학에서, 델 페초 곡면(del Pezzo曲面, 영어: del Pezzo surface)은 사영 평면의 점들을 부풀려 얻을 수 있는 대수 곡면의 한 종류다.

정의[편집]

대수적으로 닫힌 체 K에 대하여, 델 페초 곡면은 다음 두 조건을 만족시키는 K-대수다양체 X이다.

분류[편집]

델 페초 곡면은 유리 곡면이다. 즉, 사영 평면쌍유리 동치이다. 델 페초 곡면 X차수(영어: degree) d반표준 인자(또는 표준 인자)의 제곱이며, 표준 인자의 자기 교차수와 같다.

d = (-K_X)^2 = K_X^2

모든 델 페초 곡면은 다음 가운데 정확히 하나와 동형이다.

사영 평면에서 9개 이상의 점들을 부풀리면 더 이상 반표준 인자가 풍부하지 않다. 예를 들어, 9개의 점을 부풀리면 반표준 인자의 자기 교차수가 0이다.

목록[편집]

델 페초 곡면들의 차수에 따른 목록은 다음과 같다. 아래 표에서, "(−1)-곡선"은 자기 교차수-1유리 곡선이며, 이러한 곡선들의 수는 (OEIS의 수열 A33541)에 수록되어 있다.

기호 차수 d (−1)-곡선의 수 피카르 군 모듈러스 공간의 차원 비고
\operatorname{dP}_8 1 240 \operatorname I_{1,8} 8 (−1)-곡선들은 E8근계와 대응
\operatorname{dP}_7 2 56 \operatorname I_{1,7} 6
\operatorname{dP}_6 3 27 \operatorname I_{1,6} 2
\operatorname{dP}_5 4 16 \operatorname I_{1,5} 2 P^4 속의 세그레 곡면 (=두 이차 곡면의 교차)
\operatorname{dP}_4 5 10 \operatorname I_{1,4} 0
\operatorname{dP}_3 6 6 \operatorname I_{1,3} 1
\operatorname{dP}_2 7 3 \operatorname I_{1,2} 1
\operatorname{dP}_1 8 1 \operatorname I_{1,1} 0 히르체브루흐 곡면
P^1\times P^1 8 0 \operatorname{II}_{1,1} 0 두 개의 사영 직선의 곱 (이차 곡면)
\operatorname{dP}_0 9 0 \operatorname I_{1,0} 0 사영 평면 P^2

역사[편집]

나폴리의 수학자 파스콸레 델 페초(Pasquale del Pezzo)가 1880년대에 연구하였다.[1][2]

응용[편집]

델 페초 곡면은 거울 대칭의 중요한 예이다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. del Pezzo, Pasquale (1885). “Sulle superficie dell ordine n immerse negli spazi di n+1 dimensioni” (이탈리아어). 《Rendiconto della Reale Accademia delle scienze fisiche e matematiche di Napoli》. JFM 17.0514.01. 
  2. del Pezzo, Pasquale (1887). “Sulle superficie dell’nmo ordine immerse nello spazio di n dimensioni” (이탈리아어). 《Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo》 1 (1): 241–271. doi:10.1007/BF03020097. JFM 19.0841.02. 
  3. Auroux, Denis; Ludmil Katzarkov, Dmitri Orlov. “Mirror symmetry for Del Pezzo surfaces: Vanishing cycles and coherent sheaves” (영어). arXiv:math/0506166. Bibcode:2006InMat.166..537A. doi:10.1007/s00222-006-0003-4. 
  • Manin, Yu. I. 〈4장〉. 《Cubic Forms》.