델 페초 면

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수학에서 델 페초 면(del Pezzo surface)은 복소 차원이 2차원파노 다양체이다. 즉 넉넉한(ample) 반표준 인자를 가진 대수곡면이다. 유리곡면의 일종이다. 사영평면 {\mathbf P}^2의 일반적인 점 몇 개를 부풀려서 얻는다.

역사[편집]

나폴리의 수학자 파스콸레 델 페초(Pasquale del Pezzo)가 1887년부터 연구하였다.

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B_9는 델 페초 면이 아니다. 왜냐하면 반표준인자의 자신 교차수가 0이기 때문이다.

용어 설명

  • 일반 위치에 있는 점들이란, 어떤 세 점도 선형독립이고, 어떤 여섯 점도 원뿔곡선이 아니며, 어떤 여덟 점도 3차 다항면이 아니라는 것이다.
  • n차 다항면은 n-1차원 사영평면에서 균등한 n차 방정식으로 기술되는 n-2차원 부분집합 평면이다.

성질[편집]

차수[편집]

델 페초 면 X의 차수d는 정의로부터 반표준 인자(또는 표준 인자)의 제곱이다.

d = (-K_X)^2 = K_X^2;

또 차수는 정준 나눔자의 자신 교차수와 같다.

델 페초 면의 분류에 대한 정리[편집]

(a) 1 ≤ d ≤ 9.

(b) (분류) 다음 중의 하나이다.

  • X는 사영평면의 k = 9 − d점을 부풀린 것과 동형이거나
  • XP^1\times P^1과 동형이다 (그리고 d = 8)

특히, 주어진 d에 대해:

  • d = 9이면 X는 사영평면 P^2과 동형이다 (P^2부풀리지 않은 것).
  • d = 8이면 XP^2를 한 점에서 부풀린 것과 동형이거나, P^1 x P^1를 한 점에서 부풀린 것과 동형이다. (이는 또한 P^2를 "2-1"점에서 부풀린 것으로 볼 수 있다. 두 점을 P^2잡아서, 두 점을 잇는 선을 L이라 하자. 만약 두 점을 부풀리면, L의 엄격한 변환(strict transform of L)은 자체 교차수가 -1이 되어도, 다시 블로우 다운하면 P^1 x P^1 이다.)
  • 1 \leq d \leq 7이면 X는 사영평면을 k = 9 − d점에서 부풀린 것과 동형이다.

(c) (역) 만약 X가 사영평면을 일반적인 k = 9 - d점에서 부풀린 이면, X는 델 페초 면이다.

가끔 X_{9-k}k차 델 페초 면이라고 하고 dP_k라고 쓰기도 한다.

참고문헌[편집]

  • Manin, Yu. I.. 〈4장〉, 《Cubic Forms》