델 페초 면

수학에서 델 페초 면(del Pezzo surface)은 복소 차원이 2차원인 파노 다양체(Fano variety)이다. 즉 넉넉한(ample) 반정준(anticanonical) 나눔자를 가진 대수적 면이다. 유리 곡면의 일종이다. 사영평면 ${\mathbf P}^2$의 일반적인 점 몇 개를 부풀려서 얻는다.

역사

나폴리의 수학자 파스콸레 델 페초(Pasquale del Pezzo)가 1887년부터 연구하였다.

예

• $P^2$ — 사영평면.
• $P^1 \times P^1$, 2차 다항면(quadric).
• $B_k$,k < 9 — 이는 $P^2$를 k개의 일반적인 점에서 부풀린 것이다.
• 임의의 매끈한 3차 다항면은 $B_6$이 다른 방식으로 기술되는 것으로 볼 수 있다..

$B_9$는 델 페초 면이 아니다. 왜냐하면 반정준 나눔자의 자신 교차수가 0이기 때문이다.

용어 설명

• 일반 위치에 있는 점들이란, 어떤 세 점도 선형독립이고, 어떤 여섯 점도 원뿔곡선이 아니며, 어떤 여덟 점도 3차 다항면이 아니라는 것이다.
• n차 다항면은 n-1차원 사영평면에서 균등한 n차 방정식으로 기술되는 n-2차원 부분집합 평면이다.

성질

차수

델 페초 면 X의 차수d는 정의로부터 반정준 모임(또는 정준 모임)의 제곱이다.

$d = (-K_X)^2 = K_X^2$;

또 차수는 정준 나눔자의 자신 교차수와 같다.

델 페초 면의 분류에 대한 정리

(a) 1 ≤ d ≤ 9.

(b) (분류) 다음 중의 하나이다.

• X는 사영평면의 k = 9 − d점을 블로우업 한 것과 동형이거나
• X는 $P^1 x P^1$과 동형이다 (그리고 d = 8)

특히, 주어진 d에 대해:

• d = 9이면 X는 사영평면 $P^2$과 동형이다 ($P^2$를 부풀리지 않은 것).
• d = 8이면 X는 $P^2$를 한 점에서 부풀린 것과 동형이거나, $P^1 x P^1$를 한 점에서 부풀린 것과 동형이다. (이는 또한 $P^2$를 "$2-1$"점에서 부풀린 것으로 볼 수 있다. 두 점을 $P^2$잡아서, 두 점을 잇는 선을 L이라 하자. 만약 두 점을 부풀리면, L의 엄격한 변환(strict transform of L)은 자체 교차수가 -1이 되어도, 다시 블로우 다운하면 $P^1 x P^1$이다.)
• $1 \leq d \leq 7$이면 X는 사영평면을 k = 9 − d점에서 부풀린 것과 동형이다.

(c) (역) 만약 X가 사영평면을 일반적인 $k = 9 - d$점에서 부풀린 이면, X는 델 페초 면이다.

가끔 $X_{9-k}$를 k차 델 페초 면이라고 하고 $dP_k$라고 쓰기도 한다.

참고문헌

• Manin, Yu. I.. 〈4장〉, 《Cubic Forms》