닫힘 (수학)

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

닫힘 또는 폐포 또는 닫힘체는 수학에서, 어떤 대상(object) X의 닫힘체 C(X)는 X를 부분집합으로 포함하면서 일정한 특성을 가진, 가장 작은 대상(object)으로 정의된다. 어떤 대상이 자신의 닫힘체와 같으면 그것을 닫혀 있다고 한다.

[편집] 예

• 위상수학 및 관련 분과에서, 한 집합의 위상학적 닫힘.
• 대수학에서, 한 이항연산 아래서 어떤 집합 S의 닫힘체는 S를 포함하면서 그 이항연산에 대해 닫혀 있는, 가장 작은 집합 C(S)이다. 말하자면, 집합 A가 연산 * 에 대해 닫혀 있다는 것의 의미는 A의 임의의 원소 a,b에 대해여 a * b 역시 A의 원소가 된다는 뜻이다. 예를 들어, 모든 양수의 집합은 뺄셈에 대해 닫혀 있지 않다. 왜냐하면, 두 양수의 차이는 경우에 따라 양수가 아닐 수도 있기 때문이다. 모든 양수의 집합은 덧셈에 대해서는 닫혀 있다. 두 양수의 합은 언제나 양수이기 때문이다. 모든 실수의 집합은 뺄셈에 대해 닫혀 있다.

[편집] 해석학에서의 닫힘

해석학에서의 임의의 집합 S ⊂ Rⁿ 닫힘은 S와 도집합 S'의 합집합을 말하며, 또는 cl(S)로 표기한다.