닫힌 그래프정리

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함수해석학에서, 닫힌 그래프 정리(닫힌graph定理, 영어: closed graph theorem)는 두 바나흐 공간 사이의 선형 변환에 대하여, 연속성과 그 그래프의 닫힘이 서로 동치라는 정리다.

위상수학에서의 닫힌 그래프 정리[편집]

집합 X, Y 사이의 함수 f\colon X\to Y그래프

\operatorname{graph}f=\{(x,f(x))\}\subseteq X\times Y

이다.

닫힌 그래프 정리에 따르면, 위상 공간 X하우스도르프 공간 Y 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y에 대하여, \operatorname{graph}f\subseteq X\times Y닫힌 집합이다.

증명[편집]

f\colon X\to Y연속 함수라고 하자. 임의의 점

(x,y)\in X\times Y\setminus\operatorname{graph}f

X\times Y\setminus\operatorname{graph}f에 포함되는 근방을 갖는다는 것을 보이면 족하다. 정의에 따라, f(x)\ne y이다. Y하우스도르프 공간이므로, T(x)y를 포함하는 서로소 열린 근방 U\ni f(x), V\ni y가 존재한다. f가 연속 함수이므로, f^{-1}(U)\times V\subseteq X\times Y\setminus\operatorname{graph}f(x,y)를 포함하는 근방이다.

함수해석학에서의 닫힌 그래프 정리[편집]

(바나흐 공간에서의) 닫힌 그래프 정리에 따르면, 두 바나흐 공간 X, Y 사이의 선형 변환 T\colon X\to Y에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

증명[편집]

연속 함수 ⇒ 닫힌 그래프는 위상수학에서의 닫힌 그래프 정리로부터 함의된다.

반대로, \operatorname{graph}T\subseteq X\times Y닫힌 집합이라 가정하자. 사영 함수

\pi_X\colon\operatorname{graph}T\to X
\pi_Y\colon\operatorname{graph}T\to Y

는 정의에 따라 연속 함수이다. 또한, X\times Y노름\|(x,y)\|=\|x\|_X+\|y\|_Y로 주면 역시 바나흐 공간이 되며, 바나흐 공간의 닫힌 부분 벡터 공간 역시 바나흐 공간이므로 \operatorname{graph}T 역시 바나흐 공간이다. \pi_X전단사 함수이므로, 열린 사상 정리에 의하여 \pi_X역함수 \pi_X^{-1} 역시 연속 함수이다. 따라서

T = \pi_Y \circ \pi_X^{-1}

역시 연속이다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • Rudin, Walter (1973), Functional analysis, Tata MacGraw-Hill.

바깥 고리[편집]