닫힌 그래프정리

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닫힌 그래프정리(closed graph theorem, -定理)는 함수해석학의 기본적인 정리로, 바나흐 공간 간의 연속선형연산자그래프로 특성화하는 내용이다.

공식화[편집]

X, Y를 바나흐 공간, T:X→Y를 선형연산자라 하자. 여기서 T의 그래프 G(T)를 X×Y의 부분집합으로서 G(T) := {(x, Tx)|x∈X} 와 같이 정의할 경우(X×Y에는 곱위상을 준다), 다음이 성립한다.

일반적으로, X가 임의의 위상공간이고 Y가 하우스도르프 공간일 경우, 임의의 함수 T:X→Y에 대해서 T가 연속이면 G(T)는 닫힌 집합이다. 역은 X, Y가 바나흐 공간이고 T가 공간 간의 선형연산자인 경우 성립한다.

증명[편집]

먼저 T가 연속이라 가정하자. 그리고 H := X×Y-G(T)에서 한 점 (a, b)를 잡으면, T(a)≠b가 된다. Y가 하우스도르프이므로 T(a)와 b를 포함하는 겹치지 않는 열린 집합 U, V가 존재한다. 그런데 T가 연속이므로, 적당한 열린 집합 W∋a가 존재하여 T(W)⊆U가 된다. 따라서 W×V∋(a, b)이므로 H는 열린 집합이 되고, G(T)는 닫힌 집합이 된다.

거꾸로 G(T)가 X×Y에서 닫힌 집합이라 가정하자. 사영함수 A:G(T)→X와 B:X×Y→Y를 각각 A(x, Tx) = x, B(x, y) = y로 잡으면, 정의상 A와 B는 연속이 된다. 또 X×Y에서의 노름을 ||(x, y)|| = ||x||+||y||로 주면, X×Y 역시 바나흐 공간이 되고, 바나흐 공간의 닫힌 부분공간도 바나흐 공간이므로 G(T) 역시 바나흐 공간이 된다. A는 전단사 함수이므로, 열린 사상정리에 의하여 A의 역함수 A-1 역시 연속이 된다. 따라서 T = B \circ A^{-1} 역시 연속이다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • Rudin, Walter (1973), Functional analysis, Tata MacGraw-Hill.