다항식의 나눗셈 정리

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대수학에서 다항식의 나눗셈 정리는 다항식의 나눗셈의 몫과 나머지가 유일하게 존재한다는 정리를 말한다.

정리[편집]

다항식 fg \ne 0인 다항식 g에 대해서 다음 식을 만족하는 다항식 qr이 유일하게 존재한다.

 f=gq+r (r = 0 또는 deg(r)<deg(g))

이 때 qfg로 나눈 , rfg로 나눈 나머지라 한다. 또, r=0일 때 fg나눈다고 한다.

유일성 증명[편집]

f = gq + r
f = gq' + r'

라고 해보자.

g(q'-q) = r-r'

이 때, q'-q \ne 0 이라고 가정하면

deg(g(q'-q)) = deg(g)+deg(q'-q) = deg(r-r') \ge deg(g)
(\because deg(ab)=deg(a)+deg(b))

이 성립하는데,

deg(r-r') < deg(g)

이므로 모순이다.

따라서 q'-q = 0, q' = q 이고 이어서 r = r'도 얻게 된다.

인수정리[편집]

다항식 f(x)(x-a)로 나누어 떨어질 필요충분조건은

f(a)=0

이다.

증명[편집]

다항식 f(x)(x-a)로 나누어 떨어진다는 것은 어떤 다항식 q(x)에 대해서

f(x) = q(x)(x-a)

가 성립한다는 것이다.

이 때, 이 식은 항등식이므로 x=a 를 대입하면

f(a) = q(a)(a-a) = 0

이 성립한다.

이제 역 명제를 증명하자.

다항식의 나눗셈 정리에 의해서 다음을 만족하는 다항식 q(x)r(x)가 유일하게 존재한다.

 f(x)=(x-a)q(x)+r(x) (r(x) = 0 또는 deg(r(x))<deg(x-a))

이 때, deg(x-a) = 1 이므로 r(x) \ne 0 이면 deg(r(x)) = 0 이다.

따라서 어떤 상수 r에 대해서 r(x) = r 이다.

따라서 항등식

f(x) = (x-a)q(x) + r

이 성립한다.

그런데

f(a) = (a-a)q(a) + r = r

이고

f(a) = 0

이라고 하였으므로

r = 0

\therefore r(x) = 0

따라서 다항식 f(x)(x-a)로 나누어 떨어진다.