다중극 전개

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수학물리학에서, 다중극 전개(多重極展開, multipole expansion)는 어떤 물체의 퍼텐셜이나 장을 그 세기에 따라 홀극, 쌍극, 사중극, 팔중극 따위로 전개한 것이다. 전자기학이나 일반 상대성 이론 등에서 쓰인다.

정의[편집]

어떤 부피 S\subset\mathbb R^3가 생성하는 퍼텐셜 \phi가 다음과 같이 거리에 반비례한다고 하자.

\phi(\mathbf x)=\int_S\frac{\rho(\mathbf y)}{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}\;d^3\mathbf y

그렇다면 S 안에 임의의 "중심" \mathbf y_0을 잡아, \phi를 다음과 같이 전개하는 것을 생각할 수 있다.

\phi(\mathbf x)=\frac{\phi_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}+\frac{\phi_1}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^2}+\frac{\phi_2}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^3}+\cdots+\frac{\phi_n}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^{n+1}}+\cdots.

여기서 \phi_0 항을 홀극(-極, monopole), \phi_1 항을 쌍극(雙極, dipole), \phi_2 항을 사중극(四重極, quadrupole), \phi_3 항을 팔중극(八重極, octupole), 일반적으로 \phi_n 항을 2^n중극이라고 부른다. 이렇게 전개하는 것을 다중극 전개라고 한다.

다중극 전개의 항은 다음과 같이 계산할 수 있다. 거리의 역수는 다음과 같이 르장드르 다항식 P_n(x)생성 함수이다.

\frac1{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}=\frac1{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\sum_{n=0}^\infty P_n(\cos\theta)\left(\frac{\mathbf y-\mathbf y_0}{\mathbf x-\mathbf y_0}\right)^n.

여기서

\theta=\arccos\frac{(\mathbf x-\mathbf y_0)\cdot(\mathbf y-\mathbf y_0)}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert\,\Vert\mathbf y-\mathbf y_0\Vert}

\mathbf x-\mathbf y_0\mathbf y-\mathbf y_0 사이의 각이다. 따라서 각 다중극 항은 다음과 같다.

\phi_n=\int\Vert\mathbf y-\mathbf y_0\Vert^nP_n(\cos\theta)\rho(\mathbf y)\;d^3\mathbf y.

일반적으로 P_n(\cos\theta)는 다음과 같이 n텐서로 쓸 수 있다.

P_n(\cos\theta)=\sum_{i_1=1}^3\sum_{i_2=1}^3\cdots\sum_{i_n=1}^3\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_1}
\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_2}
\cdots
\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_n}
C^{(n)}_{i_1i_2i_3\cdots i_n}(\mathbf y-\mathbf y_0).

즉, 편의상

\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert=r
(\mathbf x-\mathbf y_0)/r=\hat{\mathbf r}

로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같다.

\phi=\frac{C^{(0)}}r+\frac{\hat r^iC^{(1)}_i}{r^2}+\frac{\hat r^i\hat r^jC^{(1)}_{ij}}{r^2}+\dotsb.

여기서 n차 텐서 C^{(n)}\phi2^n중극자 모멘트라고 부른다.

참고 문헌[편집]

같이 보기[편집]