다중극 전개

수학과 물리학에서, 다중극 전개(多重極展開, multipole expansion)는 어떤 물체의 퍼텐셜이나 장을 그 세기에 따라 홀극, 쌍극, 사중극, 팔중극 따위로 전개한 것이다. 전자기학이나 일반 상대성 이론 등에서 쓰인다.

정의

어떤 부피 $S\subset\mathbb R^3$가 생성하는 퍼텐셜 $\phi$가 다음과 같이 거리에 반비례한다고 하자.

$\phi(\mathbf x)=\int_S\frac{\rho(\mathbf y)}{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}\;d^3\mathbf y$

그렇다면 $S$ 안에 임의의 "중심" $\mathbf y_0$을 잡아, $\phi$를 다음과 같이 전개하는 것을 생각할 수 있다.

$\phi(\mathbf x)=\frac{\phi_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}+\frac{\phi_1}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^2}+\frac{\phi_2}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^3}+\cdots+\frac{\phi_n}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^{n+1}}+\cdots$.

여기서 $\phi_0$ 항을 홀극(-極, monopole), $\phi_1$ 항을 쌍극(雙極, dipole), $\phi_2$ 항을 사중극(四重極, quadrupole), $\phi_3$ 항을 팔중극(八重極, octupole), 일반적으로 $\phi_n$ 항을 $2^n$중극이라고 부른다. 이렇게 전개하는 것을 다중극 전개라고 한다.

다중극 전개의 항은 다음과 같이 계산할 수 있다. 거리의 역수는 다음과 같이 르장드르 다항식 $P_n(x)$의 생성 함수이다.

$\frac1{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}=\frac1{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\sum_{n=0}^\infty P_n(\cos\theta)\left(\frac{\mathbf y-\mathbf y_0}{\mathbf x-\mathbf y_0}\right)^n$.

여기서

$\theta=\arccos\frac{(\mathbf x-\mathbf y_0)\cdot(\mathbf y-\mathbf y_0)}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert\,\Vert\mathbf y-\mathbf y_0\Vert}$

는 $\mathbf x-\mathbf y_0$와 $\mathbf y-\mathbf y_0$ 사이의 각이다. 따라서 각 다중극 항은 다음과 같다.

$\phi_n=\int\Vert\mathbf y-\mathbf y_0\Vert^nP_n(\cos\theta)\rho(\mathbf y)\;d^3\mathbf y$.

일반적으로 $P_n(\cos\theta)$는 다음과 같이 $n$차 텐서로 쓸 수 있다.

$P_n(\cos\theta)=\sum_{i_1=1}^3\sum_{i_2=1}^3\cdots\sum_{i_n=1}^3\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_1} \left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_2} \cdots \left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_n} C^{(n)}_{i_1i_2i_3\cdots i_n}(\mathbf y-\mathbf y_0)$.

즉, 편의상

$\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert=r$

$(\mathbf x-\mathbf y_0)/r=\hat{\mathbf r}$

로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같다.

$\phi=\frac{C^{(0)}}r+\frac{\hat r^iC^{(1)}_i}{r^2}+\frac{\hat r^i\hat r^jC^{(1)}_{ij}}{r^2}+\dotsb$.

여기서 $n$차 텐서 $C^{(n)}$을 $\phi$의 $2^n$중극자 모멘트라고 부른다.

참고 문헌

• Griffiths, David J. (1999). 《Introduction to Electrodynamics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0138053260
• Jackson, J. D. (1962, 1975, 1998). 《Classical Electrodynamics》 (영어). New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1
• Edmonds, A.R. (1957). 《Angular momentum in quantum mechanics》. Princeton University Press. ISBN 9780691025896

같이 보기

• 르장드르 다항식