다르부의 정리 (해석학)

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다르부의 정리(Darboux's theorem, -定理) 또는 다르부의 중간값 정리(Darboux's intermediate value theorem, -定理)는 해석학정리로, 프랑스 수학자 장 가스통 다르부의 이름이 붙어 있다. 이 정리는 간단히 말해 어떤 미분가능함수도함수가 중간값 성질을 갖는다는 내용이다. 중간값 정리에 의하여 연속함수는 중간값 성질을 가진다는 것을 쉽게 알 수 있는데, 다르부의 정리는 어떤 함수의 도함수가 되는 함수가 중간값 성질을 가진다는 내용이므로 이는 중간값 정리의 일반화로 볼 수 있다.

공식화[편집]

함수 f:[a, b]→R이 [a, b]에서 미분가능하다고 하자. 만약 f'(a) < k < f'(b)라면, 적당한 c∈(a, b)가 존재하여,

f'(c) = k

를 만족한다. 다시 말해, f'([a, b])도 구간이 된다.[1]

보조정리[편집]

[a, b]에서 미분가능한 함수 f:[a, b]→R에 대하여, 다음 두 명제가 성립한다.

  1. f'(a) > 0이면, f(a)는 f의 최댓값이 아니다.
  2. f'(b) < 0이면, f(b)는 f의 최댓값이 아니다.

증명[편집]

증명 1[편집]

f'(a) > 0이고 f가 [a, b]에서 미분가능이므로, (a, b)에 속하는 적어도 한 점 r에 대하여 f(a) < f(r)가 된다. 만약 (a, b)의 모든 점 r에 대해 f(a) ≥ f(r)이라면, 0 ≥ (f(r) - f(a))/(r - a)가 되고, r → a로 가는 극한에서 우변이 f'(a)로 수렴하므로, 0 ≥ f'(a)가 되기 때문이다. 2도 비슷하게 증명할 수 있다.

증명 2[편집]

f'(a) < k < f'(b)라 하자. 그러면 [a, b]에서 새로운 함수 g를 g(x) := kx - f(x)로 정의할 때, f가 연속이므로 g도 연속이어서 g는 [a, b]에서 최댓값을 갖는다. 그런데 g'(a) = k - f'(a) > 0 이므로 g(a)는 이상의 보조정리에 의해 g의 최댓값이 아니다. 같은 방법으로 g'(b) = k - f'(b) < 0이므로 g(b)도 g의 최댓값이 아니다. 따라서 g가 최댓값을 갖는 점 c가 (a, b)에 속하는데, 여기서 0 = g'(c) = k - f'(c), 즉 f'(c) = k가 된다.[1]

주석[편집]

  1. Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006, 224-225쪽.

참고 문헌[편집]

  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006.