다르부의 정리 (기하학)

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미분기하학에서, 다르부의 정리(Darboux's theorem)는 심플렉틱 다양체의 국소적 구조에 대한 정리다. 대략, 같은 차원의 심플렉틱 다양체는 국소적으로 모두 동형임을 뜻한다.

정리[편집]

(M,\omega)2n차원의 심플렉틱 다양체라 하자. 그렇다면 국소적으로 심플렉틱 미분형식 \omega는 다음과 같은 꼴을 취한다.

\omega=dx_1\wedge dy_1+dx_2\wedge dy_2+\cdots+dx_n\wedge dy_n.

즉, M 안의 임의의 한 점 x\in M이 주어지면, x를 포함하는 근방 U\ni x와, 위의 식을 만족하는 국소좌표계 \{x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n\}\colon U\to\mathbb R^{2n}이 존재한다. 이러한 좌표계를 다르부 좌표계(Darboux chart)라 한다.

좀 더 일반적으로, m차원의 미분다양체 M 위에 정의된 p차원의 치역을 지닌 1차 미분형식 \theta를 생각하자. 만약

\theta\wedge(d\theta)^p=0

이라면, 국소적으로 \theta는 다음과 같은 꼴을 취한다.

\theta=dx_1\wedge dy_1+dx_2\wedge dy_2+\cdots+dx_p\wedge dy_p.

(심플렉틱 미분형식은 정의상 닫혀 있으므로, 임의의 심플렉틱 미분형식 \omega는 국소적으로 \omega=d\theta의 꼴이다. 따라서 앞의 정리는 이 정리의 특수한 경우다.)

의의[편집]

리만 다양체 (M,g)의 경우, 임의의 점 x\in M에서 계량 텐서 g|_x단위행렬이 되는 국소좌표계가 존재하지만, x를 포함하는 근방 U에서 계량 텐서 g|_U가 단위행렬이 되게 하는 국소좌표계는 (리만 곡률이 0이 아닌 이상) 일반적으로 존재하지 않는다. 따라서, 다르부의 정리는 심플렉틱 기하학에서는 곡률에 해당하는 개념이 존재하지 않음을 의미한다.

다르부 좌표계는 국소적으로 존재하지만, (다양체가 위상학적으로 자명하지 않는 이상) 전체적으로는 존재하지 않는다. 다르부 좌표계는 해밀턴 역학에서 일반화 좌표일반화 운동량으로 이루어진 국소좌표계에 해당한다.