넉넉한 선다발

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대수기하학에서, 넉넉한 선다발(영어: ample line bundle)은 그 거듭제곱의 단면들로 다양체를 사영공간에 매장시킬(embed) 수 있는 선다발이다.

정의[편집]

스킴 S에 대한 스킴 X\to S 위에 가역층 L\twoheadrightarrow X가 있다고 하자. 이 가역층 L매우 넉넉할(영어: very ample) 조건은 S에 대한 n차원 사영공간 \mathbb P^n_S으로의 매장(embedding) \iota\colon X\to\mathbb P^n_S이 존재해, 세르 뒤틀림 선다발 \mathcal O(1)\twoheadrightarrow\mathbb P^n_S\iota에 대한 당김이 L과 일치하는 경우이다. 즉,

\iota^*\mathcal O(1)=L

인 경우이다. \mathcal O(1)의 단면들은 대략 사영공간의 동차좌표(의 선형결합)에 해당하므로, L의 단면들이 사영공간으로의 매장을 정의하는 것을 알 수 있다.

가역층 L\twoheadrightarrow X\to S넉넉할(영어: ample) 조건은 양의 정수 n\in\mathbb Z^+이 존재해, L^{\otimes n}이 매우 넉넉한 경우이다.

전역 단면으로 생성된 스킴[편집]

X를 어떤 스킴이나 복소다양체라고 하고, FX위의 이라고 하자. F(유한히 많은) 전역 단면으로 생성되었다  a_i \in F(X)는 것은, 만약 모든 F의 모든 줄기(영어: stalk)가 ai의 싹(영어: germ)들로 생성되었다는 것이다. 예를 들면, 만일 F가 선다발이면(즉 1차원 국소 자유(locally free) 층이면) 이는 유한하게 많은 전역 단면을 가지고 있는 것이며, X위의 임의의 점 x에 최소한 0이 되지 않는 하나의 단면이 존재한다. 이 경우, 이러한 전역 생성자의 선택 a0, ..., an이 다음과 같은 사상(morphism)을 주며

f: XPn, x ↦ [a0(x): ... : an(x)],

여기에서 당김 f*(O(1))가 F이다. 이의 도 참이다. 사상 f가 주어지면, O(1)의 당김X의 전역 단면으로 생성된다.

넉넉함의 조건[편집]

실제로, 교차 이론에서 카르티에 인자 D가 넉넉한 선다발을 따질 때는, 기하학적인 방법이 있다.

예를 들며, 매끈한 대수다양체 S에 대해 나카이-모이셰존 판별법(Nakai-Moishezon -)에 의하면 D가 다음과 같은 경우에만(필요충분조건) 넉넉하다. 자체교차수엄격하게 양수이고, 또 S위의 임의의 기약(irreducible) 곡선 C에 대해

D \cdot C > 0

이면 된다. 다른 유용한 판별법은 클라이만 조건(Kleiman condition)이다. 임의의 완전한 대수 스킴 X에 대해, 그 위의 나눔자 D가 넉넉할 필요충분조건은 NE(X) 폐포(closure)의 임의의 0이 아닌 원소 x에 대해 D \cdot x >0어야 한다. 여기에서 NE(X)는 곡선 X의 꼭지점이다. 여기에서 폐포(closure) 조건은 중요하다. (Nagata 1959) 모든 유효 인자와 양의 교차수를 가지는, 넉넉하지 않은 인자를 생각할 수 있다.

그밖에도 세샤드리 조건(Seshadri condition) 등이 있다.

바깥 고리[편집]

  • (영어) Iskovskikh, V.A. (2001). Invertible sheaf. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer.
  • (영어) Iskovskikh, V.A. (2001). Ample sheaf. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer.
  • (영어) Ivanova, O.A. (2001). Ample vector bundle. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer.