넉넉한 선다발

수학의 한 분야인 대수기하학이나 복소다양체론에서 넉넉한 선다발(ample line bundle) L은 충분한 단면이 있어, 그 기저 다양체(base variety 또는 manifold) M 사영공간에 집어넣을(embed) 수 있는 선다발이다. 넉넉한 선다발과 전역적(global)으로 생성된 층들(sheves)은 매우 넉넉한 선다발(very ample line bundle)의 징조이다.

전역 단면으로 생성된 스킴

X를 어떤 스킴이나 복소다양체라고 하고, F를 X위의 층이라고 하자. F가 (유한히 많은) 전역 단면으로 생성되었다 $a_i \in F(X)$는 것은, 만약 모든 F의 모든 stalk이 a_i의 무더기들(germs)로 생성되었다는 것이다. 예를 들면, 만일 F가 선다발이면(즉 랭크 1이며 국소적으로 자유하면(locally free)) 이는 유한하게 많은 전역 단면을 가지고 있는 것이며, X위의 임의의 점 x에 최소한 0이 되지 않는 하나의 단면이 존재한다. 이 경우, 이러한 전역 생성자의 선택 a₀, ..., a_n이 다음과 같은 사상(morphism)을 주며

f: X → Pⁿ, x ↦ [a₀(x): ... : a_n(x)],

여기에서 풀백(pullback) f*(O(1))가 F이다. 이의 역도 참이다. 사상 f가 주어지면, O(1)의 풀백은 X의 전역 단면으로 생성된다.

넉넉함의 조건

실제로, 교차 이론에서 카르티에 나눔자 D가 넉넉한 선다발을 따질 때는, 기하학적인 방법이 있다.

예를 들며, 매끈한 대수다양체 S에 대해 나카이 모이셰존 판별법(Nakai-Moishezon -)에 의하면 D가 다음과 같은 경우에만(iff) 넉넉하다. 자체교차수가 엄격하게 양수이고, 또 S위의 임의의 기약(irreducible) 곡선 C에 대해

$D \cdot C > 0$

이면 된다. 다른 유용한 판별법은 클라이만 조건(Kleiman condition)이다. 임의의 완전한 대수 스킴 X에 대해, 그 위의 나눔자 D가 넉넉할 iff 조건은 NE(X) 내부(closure)의 임의의 0이 아닌 원소 x에 대해 $D \cdot x >0$어야 한다. 여기에서 NE(X)는 곡선 X의 꼭지점이다. 여기에서 내부(closure)란 조건은 중요하다. (Nagata 1959) 모든 유효한 나눔자와 양의 교차수를 가지는, 넉넉하지 않은 나눔자를 생각할 수 있다.

그밖에도 세샤드리 조건(Seshadri condition)등이 있다.