나눔자

대수기하학에서 나눔자(divisor) 또는 분자는 대수다양체의 부분다양체를 일반화한 것이다. 두 가지 방법으로 나눔자를 정의할 수 있다. 카르티에(피에르 카르티에) 나눔자와 베유(앙드레 베유) 나눔자가 있다. 다양체가 매끈한 경우에는 두 정의는 동일하다.

베유 나눔자

베유 나눔자는 여차원이 1이고 기약인 부분다양체 $D_i$의 형식적인 선형결합이다.

$\sum_i a_i D_i$

따라서 베유 나눔자의 집합은 덧셈에 대해 아벨 군을 이룬다. 국소적으로 유한한 경우만 생각했던 고전 이론에서, n차원 대수다양체의 베유 나눔자는, (n-1)차원 기약 부분다양체에 대한 자유아벨 군을 이룬다. 예를 들면 대수곡선의 나눔자는 점들을 형식적으로 더한 것이다. 유효 베유 나눔자는 이 선형결합의 계수 $a_i$들이 모두 음이 아닌 나눔자이다.

카르티에 나눔자

카르티에 나눔자는 열린 덮개 $U_i$와 이 덮개 위의 유리함수 $f_i$들의 모임으로 정의된다. 함수들은 다음과 같은 성질을 만족해야 의미가 있다. 덮개 상의 두 집합의 교집합에서 이에 해당하는 두 종류의 유리함수의 비가 정칙(regular) 함수여야하고 가역적이어야 한다. 이 $f_i$가 정칙 함수일 때, 카르티에 나눔자가 유효하다고 한다. 이 경우 카르티에 나눔자는 여차원 1인 부분다양체를 정의한다.

모든 카르티에 나눔자 D에 대해, 언제나 이와 관련된 선다발(정확히 말하면 가역적인 층(sheaf)) L(D) 이 있으며, 나눔자의 합은 이 선다발의 텐서곱에 해당한다. 다발들의 동형사상은 카르티에 나눔자의 선형 동치 관계(linear equivalence relation)를 이루며, 나눔자 모임은 피카르 군을 이룬다. 층이 "맞는" 기하학을 기술한다는 것에 착안하여, 1950년대에 고전적인 베유 나눔자의 개념을 확장해서 카르티에 나눔자를 도입했으며, 후자는 특이점이 있는 공간에도 적용할 수 있게 되었다.

예

두 나눔자가 일치하지 않는 대표적인 경우는 하나의 특이점이 존재하는 2차 곡면(quadric)인 원뿔이다. 이 특이점, 즉 원뿔의 꼭지점에서 시작하는 선을 원뿔에 그으면 베유 나눔자가 되지만 카르티에 나눔자는 아니다.