인자 (대수기하학)

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대수기하학에서, 인자(因子, 영어: divisor)는 여차원이 1인 부분대수다양체의 개념을 일반화한 것이다. 카르티에 인자베유 인자 두 종류가 있으며, 특이점이 없는 대수다양체의 경우에는 두 정의는 동치이다.

베유 인자[편집]

베유 인자는 여차원이 1이고 기약인 부분다양체 D_i의 형식적인 선형결합이다.[1]:130–136

 \sum_i a_i D_i

따라서 베유 인자의 집합은 덧셈에 대해 아벨 군을 이룬다. 이는 앙드레 베유의 이름을 땄다.

국소적으로 유한한 경우만 생각했던 고전 이론에서, n차원 대수다양체의 베유 인자는, (n-1)차원 기약 부분다양체에 대한 자유 아벨 군을 이룬다. 예를 들면 대수곡선의 인자는 점들을 형식적으로 더한 것이다. 유효 베유 인자(영어: effective Weil divisor)는 이 선형결합의 계수 a_i들이 모두 음이 아닌 베유 인자이다.

주인자와 인자류[편집]

대수다양체 X 위에 0이 아닌 유리함수 f가 있다고 하자. 이 함수의 극점들과 영점들을 \{Y_i\}\subset X라고 하자. (X가 2차원 이상인 경우에는 이 "극점"/"영점"들은 여차원이 1인 부분다양체가 된다.) 각 Y_i에 다음과 같은 계수 n_i를 부여하자.

  • v_i가 영점일 경우 그 계수는 영점으로서의 계수다. 예를 들어, f=x^k인 경우 x=0의 계수는 k.
  • v_i가 극점일 경우 그 계수는 극점으로서의 계수 × −1이다. 예를 들어, f=x^{-k}인 경우 x=0의 계수는 -k.

이 경우, 유리함수 f의 (베유) 인자 (f)는 다음과 같은 베유 인자다.

(f)=\sum_in_iY_i

유리함수의 인자로 나타낼 수 있는 베유 인자를 주인자(主因子, 영어: principal divisor)라고 한다.

두 베유 인자 D_1, D_2의 차 D_1-D_2가 주인자라면, D_1D_2선형동치(영어: linearly equivalent)라고 하고, D_1\sim D_2라고 쓴다. 이는 베유 인자에 대한 동치 관계다. 선형동치에 대한 베유 인자들의 동치류들을 인자류(영어: divisor class)라고 한다. 동치류들의 덧셈에 대한 아벨 군인자류군(영어: divisor class group)이라고 한다.

카르티에 인자[편집]

카르티에 인자는 열린 덮개 U_i와 이 덮개 위의 유리함수 f_i\colon U\to k들의 모임으로 정의된다.[1]:140–143 이 함수들은 다음과 같은 성질을 만족해야 의미가 있다. 덮개 상의 두 집합의 교집합 U_i\cap U_j에서, f_i/f_j는 정칙(regular) 가역 함수여야 한다. 이는 피에르 카르티에의 이름을 땄다.

유효 카르티에 인자(영어: effective Cartier divisor)는 유리함수 f_i들을 정칙 함수로 잡을 수 있는 카르티에 인지다. 유효 카르티에 인자는 f_i=0으로 정의되는 여차원 1인 부분다양체를 정의한다.

선다발과의 관계[편집]

모든 카르티에 인자 D에 대해, 언제나 이와 관련된 선다발 \mathcal L(D) (또는 가역적인 \mathcal O_X(D))을 대응시킬 수 있으며, 인자의 합은 이 선다발의 텐서곱에 해당한다. 선다발은 U_iU_j 사이의 전이사상(영어: transition map) g_{ij}\colon U_i\cap U_j\to k^*으로 정의되는데, 카르티에 인자 \{f_i\}가 주어지면, 이에 대응하는 선다발의 전이사상들은 g_{ij}=f_i/f_j이다. 이는 전이사상의 성질들 g_{ij}g_{ji}=1, g_{ij}g_{jk}g_{ki}=1을 만족시킴을 쉽게 알 수 있다.

다발들의 동형사상은 카르티에 인자의 선형 동치 관계(linear equivalence relation)를 이루며, 이에 대한 인자들의 동치류들은 피카르 군을 이룬다. 층이 "맞는" 기하학을 기술한다는 것에 착안하여, 1950년대에 고전적인 베유 인자의 개념을 확장해서 카르티에 인자를 도입했으며, 후자는 특이점이 있는 공간에도 적용할 수 있게 되었다.

[편집]

두 인자가 일치하지 않는 대표적인 경우는 하나의 특이점이 존재하는 2차 곡면(quadric)인 원뿔이다. 이 특이점, 즉 원뿔의 꼭지점에서 시작하는 선을 원뿔에 그으면 베유 인자가 되지만 카르티에 인자는 아니다.

리만 곡면에서의 인자[편집]

리만 곡면(1차원 복소 대수다양체)의 경우에는 베유 인자와 카르티에 인자가 서로 일치하며, 곡면의 모든 점들로 생성되는 자유 아벨 군이다. 예를 들어, 리만 곡면 M에서 z_0\in M이라고 하자. 그렇다면 nz_0 (n\in\mathbb Z) 는 (베유) 인자로 여길 수 있다. 카르티에 인자로는, 이를 (국소 복소좌표계에서 정의된) 함수 z\mapsto(z-z_0)^n으로 정의한다.

보다 일반적으로, M 위에 정의된 유리형함수 f\colon M\to\hat{\mathbb C}가 주어지면, 이에 대응하는 나눔자 (f)를 정의할 수 있다. 이는 f의 극점(pole)들과 영점(zero)들의 선형결합이며, 선형결합에서 (z-z_0)^n꼴의 영점의 계수는 n으로, (z-z_0)^{-n} 꼴의 극점의 계수는 -n으로 한다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》, Graduate Texts in Mathematics 52, ISSN 0072-5285. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. MR0463157. Zbl 0367.14001. ISBN 978-0-387-90244-9