끈의 진동

진동, 끈의 정상파, 배음렬중 기본적인 6가지의 배음

끈의 진동은 파동의 한 형태 이다. 일정하게 진동하는 끈은 소리를 만든다. 특정 음의 진동으로 부터 소리는 일정한 음을 만든다. 진동하는 끈은 기타, 피아노, 가야금등과 같은 현악기가 소리를 내는 근본적인 원리이다.

파동 [편집]

끈에 의한 파동의 전파 속력( $v$ )는 아래 식과 같이 나타내어 지며, 전파속도는 끈의 장력( $T$ )의 제곱근에 비례하고 끈의 선형밀도( $\mu$ ) 의 제곱근에 반비례한다.

$v = \sqrt{T \over \mu}.$

유도 [편집]

끈의 한지점 x으로부터 작은 $\Delta x$ 의 간격을 잡고, $m$ 을 질량, $\mu$ 를 선형밀도라고 하자. 끈의 수평축 장력이 $T$ (상수)로서 일정하다고 가정하면, 각 양끝 $x$ 와 $x$ + $\Delta x$ 가해지는 장력은 아래와 같이 $T$ 로서 근사할 수 있다.

$T_{1x}=T_1 \cos(\alpha) \approx T.$

$T_{2x}=T_2 \cos(\beta)\approx T.$

각 양 끝의 끈이 수평축과 이루는 각 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 매우 작다고 생각 하면 수평축의 알짜힘은 0이되어 상쇄된다. 따라서 수직방향의 힘은 전체 알짜힘의 크기와 같음으로 아래와 같이 y에 대한 편미분으로서 표현 할 수 있다.

$\Sigma F_y=T_{2y}-T_{1y}=T_2 \sin(\beta)-T_1 \sin(\alpha)=\Delta m a\approx\mu\Delta x \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}.$

양변을 장력 $T$ 으로 나누어 주고 처음에 구했던 $T$ 관한 식을 이용하여 대입하여 주면 아래와 같다.

$\frac{\mu\Delta x}{T}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=\frac{T_2 \sin(\beta)}{T_2 \cos(\beta)}-\frac{T_1 \sin(\alpha)}{T_1 \cos(\alpha)}=\tan(\beta)-\tan(\alpha)$

각 양끝의 $a$ 와 $b$ 에 대한 탄젠트값이 양끝값의 기울기와 같다는 것을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\frac{1}{\Delta x}\left(\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|^{x+\Delta x}-\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|^x\right)=\frac{\mu}{T}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$