끈의 진동

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진동, 끈의 정상파, 배음렬중 기본적인 6가지의 배음

끈의 진동파동의 한 형태 이다. 일정하게 진동하는 끈은 소리를 만든다. 특정 의 진동으로 부터 소리는 일정한 음을 만든다. 진동하는 끈은 기타, 피아노, 가야금등과 같은 현악기가 소리를 내는 근본적인 원리이다.

파동[편집]

끈에 의한 파동의 전파 속력(v)는 아래 식과 같이 나타내어 지며, 전파속도는 끈의 장력(T)의 제곱근에 비례하고 끈의 선형밀도(\mu) 의 제곱근에 반비례한다.

v = \sqrt{T \over \mu}.

유도[편집]

Illustration for a vibrating string

끈의 한지점 x으로부터 작은 \Delta x의 간격을 잡고, m질량, \mu선형밀도라고 하자. 끈의 수평축 장력T(상수)로서 일정하다고 가정하면, 각 양끝 xx+\Delta x 가해지는 장력은 아래와 같이 T로서 근사할 수 있다.

T_{1x}=T_1 \cos(\alpha) \approx T.
T_{2x}=T_2 \cos(\beta)\approx T.

각 양 끝의 끈이 수평축과 이루는 각 \alpha\beta가 매우 작다고 생각 하면 수평축의 알짜힘은 0이되어 상쇄된다. 따라서 수직방향의 힘은 전체 알짜힘의 크기와 같음으로 아래와 같이 y에 대한 편미분으로서 표현 할 수 있다.

\Sigma F_y=T_{2y}-T_{1y}=T_2 \sin(\beta)-T_1 \sin(\alpha)=\Delta m a\approx\mu\Delta x \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}.

양변을 장력T으로 나누어 주고 처음에 구했던 T관한 식을 이용하여 대입하여 주면 아래와 같다.

\frac{\mu\Delta x}{T}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=\frac{T_2 \sin(\beta)}{T_2 \cos(\beta)}-\frac{T_1 \sin(\alpha)}{T_1 \cos(\alpha)}=\tan(\beta)-\tan(\alpha)

각 양끝의 ab에 대한 탄젠트값이 양끝값의 기울기와 같다는 것을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\frac{1}{\Delta x}\left(\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|^{x+\Delta x}-\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|^x\right)=\frac{\mu}{T}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}

여기서 처음에 \Delta x가 매우 작다고 가장하였음으로 0에 대하여 극한을 취하면 미분의 정의에 의해 y의 미분값의 미분 즉 y 에 대한 이계미분이 된다.

\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{\mu}{T}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}.

이 식은y(x,t)에 대한 파동방정식과 일치한다. 파동방정식에서 시간에 대한 이계미분의 항은 v^{-2}와 같다 따라서,

v=\sqrt{T\over\mu},

v는 끈에 의한 파동의 전파 속력이다. 하지만, 이 유도는 오직 작은 진폭으로 진동할 때만 유효하다. 큰진폭의 경우에는, \Delta x 은 좋은 근사식이 될 수 없다. 수평축의 장력은 상수T로서 일정할 필요가 없다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]