꼭짓점 연산자 대수

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수학에서, 꼭짓점 연산자 대수(-點演算子代數, 영어: vertex operator algebra)는 등각 장론의 특정 국소적 연산자와 유사한 구조를 지니는 수학적 구조이다. 대략, 벡터를 행렬로랑 급수에 대응시키는 연산을 지닌 벡터 공간이다. 리 대수에서, 구조 상수를 로랑 급수로 일반화한 것으로도 생각할 수 있다.

정의[편집]

꼭짓점 연산자 대수(vertex operator algebra) (V,Y,1,\omega)는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.

  • V=\bigoplus_{n=k}^\infty V_n정수 차수 붙은(graded) 복소 벡터 공간이다. 각 차수 부분공간 V_n<\infty은 유한 차원이다. k는 임의의 정수다.
  • Y\colon V\otimes V\to V((z))V\otimes V에서 형식적 로랑 급수 V((z))로 가는 선형 사상이다. 이는 Y\colon V\to(\operatorname{End} V)((z))로도 생각할 수 있다. 즉, 일종의 곱셈 연산이다. 이를 상태-연산자 사상(state–operator map)이라고 한다. 편의상 a\in V이면 Y(a)(z)=\sum_{n\in\mathbb Z}a_nz^{-n-1}으로 표기한다. 여기서 a_n\in\operatorname{End}V이다. 간혹 a\in V에 대하여, Y를 생략하고 a(z)=Y(a)(z)\in\operatorname{End}((z))로 쓰기도 한다.
  • 1\in V_0는 벡터 공간의 한 원소다. 이를 진공 상태라고 한다.
  • \omega\in V_2등각 상태(conformal state)이다. 통상적으로 L_n=\omega_{n+1}으로 표기한다.

이는 다음과 같은 공리를 만족하여야 한다.

  • (차수의 성질) a\in V_i, b\in V_j이면 a_nb\in V_{i+j-n-1}이다. 또한, a\in V_n이면 L_0a=na이다.
  • (진공의 성질) 1(z)단위 연산자이다. 또한, 모든 a\in V에 대하여 a_{-1}1=a이다.
  • 모든 a,b\in V에 대하여, n이 충분히 크다면 a_nb=0이다.
  • (병진 연산자의 표현) 임의의 a\in V에 대하여, (L_{-1}a)(z)=(d/dz)a(z)이다.
  • (비라소로 대수) [L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\delta_{m+n,0}(m^3-m)c/12. 여기서 c\in\mathbb C는 비라소로 대수의 중심 전하(central charge)라고 한다.
  • (야코비 항등식) z^{-1}\delta((x-y)/z)a(x)b(y)-z^{-1}\delta((x-y)/z)b(y)a(x)=y^{-1}\delta((x-z)/y)(a(z)b)(y). 여기서 \delta(z)=\sum_{n\in\mathbb Z}z^n디랙 델타 함수다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]