그랜드 퍼텐셜

통계역학

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그랜드 퍼텐셜(Grand potential)은 통계물리학에서 사용하는 물리량이다. 특히 어떤 물리계가 비가역적이고, 다른 계에 대해서 열려 있을 때 주로 사용한다.

그랜드 퍼텐셜은 다음과 같이 정의 된다.

$\Phi_{G} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ E - T S - \mu N$

여기서 T 는 물리계의 절대온도, E 는 에너지, S 는 엔트로피 μ는 화학적 퍼텐셜(chemical potential)이고 N 은 물리계 안에 존재하는 모든 입자의 수 이다.

그랜드 퍼텐셜의 미분형태는 다음과 같다.

$d\Phi_{G} = - S dT - N d\mu - P dV$

여기서 P 는 압력이고, V 는부피 이다.

만약 우리가 고려하는 물리계가 열역학적 평형상태에 있을 때 Φ_G 는 최소가 된다. 부피가 고정되어 있고 온도와 화학적 퍼텐셜이 변화하지 않는 상황을 생각해 보면 dΦ_G 가 0 이 됨을 쉽게 알 수 있다.

이상기에체 대한 그랜드 퍼텐셜은 다음과 같이 정의 된다.

$\Phi_{G} = - k_{B} T \ln(\Xi) = - k_{B} T Z_{1} e^{\beta \mu}$

여기서 Ξ는 그랜드 분배함수(grand partition function)이고 k_B 는 볼츠만상수 이며 Z₁ 는 하나의 입자에 대한분배함수 이다.

란다우 자유 에너지

어떤 학자들은 란다우 자유 에너지를 정의하고 사용하기도 한다.

란다우 자유 에너지는 다음과 같이 정의된다.

$\Omega \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ F - \mu N = U - T S - \mu N$

이것은 러시아의 물리학자인 란다우의 이름을 따 만든 것이며 그랜드 퍼텐셜과 동일한 역할을 한다.