그래프 색칠

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그래프의 3개의 색으로의 색칠. 이 그래프는 2개의 색으로 색칠할 수 없으며, 따라서 이 그래프의 색칠수는 3이다.

그래프 이론에서, 그래프 색칠(graph色漆, 영어: graph colo(u)ring)은 그래프의 꼭짓점들에, 같은 색이 인접하지 않도록 색을 부여하는 방법이다. 이를 사용하여 그래프의 불변량을 정의할 수 있다.

정의[편집]

(단순) 그래프 G색칠 (C,c)은 집합 C 및 함수 c\colon V(G)\to C의 순서쌍이다. 이 경우, 임의의 변 v_1v_2\in E(G)에 대하여 c(v_1)\ne c(v_2)이어야만 한다. 색칠 (C,c)에서, C의 원소를 (色, 영어: colo(u)r)이라고 한다.

그래프 G의 두 색칠 (C,c), (C',c')이 주어졌을 때, 만약 전단사함수 f\colon C\to C'가 존재하여 c'=f\circ c인 경우, 두 색칠이 서로 동형이라고 한다.

그래프 G변 색칠(邊色漆, 영어: edge colo(u)ring)은 G선 그래프 L(G)의 색칠이다. 평면 그래프 G면 색칠(面色漆, 영어: face colo(u)ring)은 그 쌍대 그래프(영어: dual graph) G'의 색칠이다.

색칠 다항식과 색칠수[편집]

이 그래프 G의 경우 P_Ga(3)=12이다.

그래프 G에서, 색 C=\{1,2,\dots,t\}을 공역으로 하는 색칠의 수를 P_G(t)라고 쓰자. (이 경우, 서로 동형인 색칠들도 중복하여 센다.) 만약 G가 유한 그래프일 경우, 이는 t에 대하여 다항식을 이루며, 이를 G색칠 다항식(영어: chromatic polynomial)이라고 한다. 그래프 G색칠수(色漆數, 영어: chromatic number) \chi(G)는 색칠이 존재하는 최소의 정수이다.

\chi(G)=\min\{t\in\mathbb N\colon P_G(t)>0\}

마찬가지로, 변 색칠 다항식 · 변 색칠수 따위를 정의할 수 있다. 변 색칠수는 색칠 지표(영어: chromatic index)라고도 하며, \chi'(G)로 쓴다.

성질[편집]

(단순) 유한 그래프 G에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치다.

  • \chi(G)=1
  • P_G(t)=t^n (n\in\mathbb Z^+)
  • |E(G)|=0이며 |V(G)|\ge1

(단순) 그래프 G에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치다.

모든 (단순) 유한 그래프 G에 대하여, 다음이 성립한다.

  • 1\le\chi(G)\le|V(G)|
  • \chi(G)\left(\chi(G)-1\right)\le2|E(G)|
  • \omega(G)\le\chi(G)\le\Delta(G)+1

여기서 \omega(G)G의 최대 클릭의 크기이며, \Delta(G)=\max_{v\in V(G)}\deg vG의 꼭짓점들의 차수들의 최댓값이다. 브룩스의 정리(영어: Brooks’ theorem)에 따르면, 임의의 연결 유한 그래프 G에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

4색정리에 따르면, 모든 유한 평면 그래프 G에 대하여

\chi(G)\le 4

이다. 그뢰치의 정리(영어: Grötzsch’s theorem)에 따르면, 크기가 3인 순환을 갖지 않는 유한 평면 그래프 G에 대하여

\chi(G)\le3

이다.

변 색칠수[편집]

비징의 정리에 따르면, 임의의 유한 그래프 G에 대하여

\chi(L(G))-\Delta(G)\in\{0,1\}

이다. 쾨니그의 정리에 따르면, 임의의 유한 이분 그래프 G에 대하여

\chi(L(G))=\Delta(G)

이다.

색칠 다항식의 성질[편집]

n개의 꼭짓점을 갖는 그래프의 색칠 다항식은 n차 다항식이다.

(단순) 유한 그래프 G에 대하여, 다음 두 조건이 동치다.

  • \chi_G(t)=t(t-1)^{n-1}
  • Gn개의 꼭짓점을 갖는 나무이다.

(단순) 유한 그래프 G에 대하여, 다음 두 조건이 동치다.

색칠 다항식이 t(t-1)^3(t-2)인 그래프

두 그래프의 색칠 다항식이 같을 경우, 이들이 색칠 동치(영어: chromatically equivalent)라고 한다. 서로 동형이 아닌 두 그래프가 색칠 동치일 수 있다. 예를 들어, 꼭짓점의 수가 같지만 서로 동형이 아닌 두 나무는 색칠 동치이다. 또한, 색칠 다항식이 t(t-1)^3(t-2)인 그래프는 총 3개가 있다.

연결 성분 G_1,\dots,G_n으로 구성된 그래프의 색칠 다항식은 다음과 같다.

P_G(t)=\prod_{i=1}^nP_{G_i}(t)

(단순) 그래프 Guv\in E(G)에 대하여, G-uvG에서 변 uv를 제거한 그래프, G/uvG에서 변 uv를 제거하고 uv를 합친 그래프라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

P_G=P_{G-uv}-P_{G/uv}

즉, 이를 사용하여 색칠 다항식을 재귀적으로 계산할 수 있다.

알고리즘[편집]

임의의 그래프에 대하여 k-색칠이 존재하는지 여부는 NP-완전 결정 문제다. 이는 리처드 카프1972년에 보인 21개의 NP-완전 문제 중의 하나이다.

임의의 그래프 G에 대하여, \Delta(G)+1-색칠은 항상 존재하며, 탐욕 알고리즘으로 쉽게 찾을 수 있다.

[편집]

일부 그래프의 색칠 다항식 및 색칠수는 다음과 같다.

다항식 색칠 다항식 색칠수
변이 없는 그래프 \bar K_n t^n 1
완전 그래프 K_n t(t-1)(t-2)...(t-(n-1)) n
n개의 꼭짓점을 갖는 나무 t(t-1)^{n-1} 2
순환 그래프 C_n (t-1)^n+(-1)^n(t-1) 2 (n 짝수), 3 (n 홀수)
페테르센 그래프 t(t-1)(t-2)(t^7-12t^6+67t^5-230t^4+529t^3-814t^2+775t-352) 3

응용[편집]

그래프 색칠 문제는 컴파일러에서 프로세서 레지스터를 할당하는 문제, 무선 기지국 사이에서 간섭을 없애기 위한 주파수 할당 문제 등에 응용된다.

스도쿠 역시 일종의 그래프 색칠 문제이다. 이 경우, 9×9 격자의 각 행·각 열·각 3×3 부분격자는 클릭을 이루며, 스도쿠는 주어진 부분적 9-색칠을 완성시키는 문제이다.

바깥 고리[편집]

  • (영어) Graph colouring. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).

같이 보기[편집]