그람-슈미트 직교정규화

그람-슈미트 직교정규화(Gram-Schmidt orthonormalizing)는 내적공간에서 유한 개의 선형 독립 벡터 집합을 직교정규기저 집합으로 변환하는 방법이다.

과정

선형 독립인 벡터 집합 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_k\}$을 기반으로, 직교정규기저 집합 $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_k\}$을 생성한다. 먼저, 사영 연산자를 다음과 같이 정의한다.

$\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,(\mathbf{v}) = {\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle\over\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}\mathbf{u}$

이 연산은 벡터 $\mathbf{v}$를 $\mathbf{u}$에 대해 사영시킨다.

먼저 각 벡터 $\mathbf{v}_i$를 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots, \mathbf{u}_{i-1}$와 직교적인 벡터 $\mathbf{u}_i$으로 만든다. 구체적으로는 다음과 같은 연산을 거친다.

$\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1$

$\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,(\mathbf{v}_2)$

$\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,(\mathbf{v}_3)-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_2}\,(\mathbf{v}_3)$

$\vdots$

$\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_j}\,(\mathbf{v}_k)$

이렇게 생성된 $\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots, \mathbf{u}_k\}$ 집합은 직교적이다. 이제, 각 벡터를 정규화시키면 직교정규기저 집합이 얻어진다.

$\mathbf{e}_i = \frac{\mathbf{u}_i}{\|\mathbf{u}_i\|}$