국소 콤팩트 공간

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일반위상수학에서, 국소 콤팩트 공간(局所compact空間, 영어: locally compact space)은 국소적으로 콤팩트한 구조를 갖는 위상 공간이다.

정의[편집]

국소 콤팩트 공간은 모든 점이 콤팩트 근방을 갖는 위상 공간이다.[1]:182

성질[편집]

하우스도르프 공간 X에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다.[1]:182
  • 국소 콤팩트 린델뢰프 공간반콤팩트 공간이다.
  • 임의의 콤팩트가 아닌 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 한 점을 추가하여 콤팩트 하우스도르프 공간으로 만들 수 있다. 이를 알렉산드로프 콤팩트화라고 한다. 즉, X가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간일 때 X의 초공간인 콤팩트 하우스도르프 공간 Y와 어떤 y∈Y가 존재하여 Y - X = {y}을 만족한다. 실제로 X의 한 점 콤팩트화인 Y가 하우스도르프일 필요충분조건은 X가 국소 콤팩트 하우스도르프인 것이다. 이때 X는 Y의 조밀 부분공간이 된다.(이는 임의 한 점 콤팩트화의 성질이다)[1]:183
  • 실수선은 국소 콤팩트 공간이며, (유한 차원) 유클리드 공간 \mathbb R^n 역시 국소 콤팩트 공간이다. 그러나 \mathbb R^\omega는 국소 콤팩트 공간이 아니다.[1]:182
  • 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 닫힌 집합열린 집합은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.[1]:185
  • G를 국소 콤팩트 위상군, H를 G의 부분군이라 할 때 G/H는 국소 콤팩트 공간이다.[1]:186
  • 위상공간 X, Y에 대해 X가 국소 콤팩트이고, 전사 연속 열린 함수 f:X→Y가 존재하면 Y도 국소 콤팩트이다.
  • 임의의 첨수 집합 I에 대해 위상 공간들의 곱공간 \prod_{i \in I} X_i 이 국소 콤팩트 공간이면 모든 X_i 도 국소 콤팩트 공간이고, 특히 유한 개를 제외한 나머지는 콤팩트 공간이 된다.

참고 문헌[편집]

  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) (2판판). Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 

바깥 고리[편집]