국소 컴팩트 공간

국소 컴팩트 공간(Locally compact space, 局所 컴팩트 空間)은 위상공간으로서, 컴팩트 공간을 국소화시킨 형태이다. 일반적으로 다음과 같이 정의한다.

• 국소 컴팩트 공간은 모든 점에서 국소 컴팩트한 공간이다.

어떤 위상공간 X에 대해 점 x에서 국소 컴팩트하다는 것은 다음과 같이 정의한다.

• x에 적당한 컴팩트 근방이 존재한다.

성질

• 컴팩트 공간은 국소 컴팩트 공간이다.
• 국소 컴팩트 린델뢰프 공간은 반컴팩트 공간이다.
• (알렉산드로프 한 점 컴팩트화) 임의의 컴팩트가 아닌 국소 컴팩트 하우스도르프 공간은 한 점을 추가하여 컴팩트한 하우스도르프 공간으로 만들 수 있다. 즉, X가 국소 컴팩트 하우스도르프 공간일 때 X의 초공간인 컴팩트 하우스도르프 공간 Y와 어떤 y∈Y가 존재하여 Y - X = {y}을 만족한다. 실제로 X의 한 점 컴팩트화인 Y가 하우스도르프일 필요충분조건은 X가 국소 컴팩트 하우스도르프인 것이다. 이때 X는 Y의 조밀 부분공간이 된다.(이는 임의 한 점 컴팩트화의 성질이다)
  • 이상과 스톤-체흐 컴팩트화에 관한 정리를 결합하면 국소 컴팩트 하우스도르프 공간은 티호노프 공간임을 알 수 있다.
• 실수의 보통위상공간은 국소 컴팩트 공간이다. 나아가 자연수 n에 대해 $R^n$ 역시 국소 컴팩트 공간이다. 그러나 $R^{\omega}$ 은 국소 컴팩트 공간이 아니다.
• X를 국소 컴팩트 하우스도르프 공간이라 하자. 그러면, X의 부분공간 A가 X에서 닫혀 있거나 열려 있다면 A도 국소 컴팩트 하우스도르프 공간이다.
• X가 국소 컴팩트 하우스도르프 공간일 필요충분조건은 적당한 컴팩트 하우스도르프 공간의 부분공간과 X가 위상동형인 것이다.
• G를 국소 컴팩트 위상군, H를 G의 부분군이라 할 때 G/H는 국소 컴팩트이다.
• 위상공간 X, Y에 대해 X가 국소 컴팩트이고, 전사이고 연속인 열린 함수 f:X→Y가 존재하면 Y도 국소 컴팩트이다.
• 임의의 첨수집합 I에 대해 위상공간들의 곱공간 $\prod_{i \in I} X_i$ 이 국소 컴팩트 공간이면 모든 $X_i$ 도 국소 컴팩트 공간이고, 특히 유한 개를 제외한 나머지는 컴팩트 공간이 된다.

참고 문헌

• James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall.