국소 연결 공간

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일반위상수학에서, 국소 연결 공간(局所連結空間, 영어: locally connected space)은 모든 점이 연결 근방을 갖는 위상 공간이다.

정의[편집]

국소 연결 공간 X는 임의의 점 x\in X의 임의의 근방 U\ni x에 대하여, x\in C\subseteq U연결 근방 C가 존재하는 위상 공간이다.[1]:161

국소 경로 연결 공간(locally path connected space) X는 임의의 점 x\in X의 임의의 근방 U\ni x에 대하여, x\in C\subseteq U경로 연결 근방 C가 존재하는 위상 공간이다.[1]:161

성질[편집]

  • 국소 경로 연결 공간은 국소 연결 공간이다.
  • 위상 공간 X가 국소 연결 공간일 필요충분조건은 X 상의 임의의 열린 집합 U에 대해 U의 모든 연결 성분이 X에서 열린 집합인 것이다.[1]:161
  • 위상 공간 X가 국소 경로 연결 공간일 필요충분조건은 X 상의 임의의 열린 집합 U에 대해 U의 모든 경로 연결 성분이 X에서 열린 집합인 것이다.[1]:161
  • 국소 경로 연결 공간에서 연결 성분과 경로 연결 성분은 동치인 개념이다.[1]:161
  • 국소 경로 연결 공간의 열린 연결 부분 공간은 경로 연결 공간이다.[1]:162
  • 국소 연결공간 X와 위상 공간 Y에 대해 X에서 Y로의 몫사상이 존재한다면, Y도 국소연결공간이다.[1]:163

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위상수학자의 사인 곡선연결 공간이지만 국소 연결 공간이 아니다. (0, 1)에서 이 점을 중심으로 하는 적당히 작은 ε-구를 잡으면, (0, 1)을 포함하는 연결 성분은 열린 집합이 아니기 때문이다.

빗 공간(comb space)은 경로 연결 공간이지만 국소 경로 연결 공간이 아니다.

참고 문헌[편집]

  1. James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall

바깥 고리[편집]