국소 연결공간

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국소 연결공간(locally connected space, 局所 連結空間)은 위상공간으로서, 연결공간국소화시킨 개념이다. 다음과 같이 정의한다.[1]

  • 국소 연결공간은 모든 점에서 국소 연결인 공간이다.

여기서, 위상공간 X가 어떤 점 x에서 국소 연결이라는 것은 다음과 같이 정의한다.[1]

  • x의 임의의 근방에 대해, 이 근방에 포함되는 x의 연결된 근방이 존재한다.

유사하게 국소 경로연결공간(locally path connected space)도 정의할 수 있다. 그 정의는 위의 정의에서 '연결'을 '경로연결'로 바꾸어 주기만 하면 된다.[1]

성질[편집]

  • 국소 경로연결공간은 국소 연결공간이다.
  • 위상공간 X가 국소 연결공간일 필요충분조건은 X 상의 임의의 열린 집합 U에 대해 U의 모든 연결성분이 X에서 열린 집합인 것이다.[1]
  • 위상공간 X가 국소 경로연결공간일 필요충분조건은 X 상의 임의의 열린 집합 U에 대해 U의 모든 경로연결성분이 X에서 열린 집합인 것이다.[1]
  • 국소 경로연결공간에서 연결성분과 경로연결성분은 동치인 개념이다.[1]
  • 국소 경로연결공간의 열린 연결 부분공간은 경로연결공간이다.[2]
  • 국소 연결공간 X와 위상공간 Y에 대해 X에서 Y로의 몫사상이 존재한다면, Y도 국소연결공간이다.[3]

연결성과의 관계[편집]

일반적으로 국소 연결성은 연결성과 관계가 없다. 예를 들어, 위상수학자의 사인 곡선연결공간이지만 국소 연결공간은 아니다. (0, 1)에서 이 점을 중심으로 하는 적당히 작은 ε-구를 잡으면, (0, 1)을 포함하는 연결성분은 열린 집합이 아니기 때문이다. 마찬가지로 국소 경로연결성도 경로연결성과 관계가 없는데, 빗 공간(comb space)은 경로연결공간이지만 국소 경로연결공간은 아니다.

주석[편집]

  1. James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall, p.161.
  2. Ibid., p.162.
  3. Ibid., p. 163.

참고 문헌[편집]

  • James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall.