구면조화함수

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

구면조화함수(spherical harmonics)는 수학에서 구면좌표계의 라플라스 방정식을 풀었을 때 나오는 직교집합을 이루는 해의 각의 부분을 말한다. 이 함수는 전자기학과 양자역학 등등의 많은 곳에서 사용되고 있다.

구면좌표계에서의 라플라스 방정식은 다음과 같다.

$\nabla^2 f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0$

함수 f가 다음과 같이 표현된다 하면

f(r,θ,φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ)

라플라스 방정식의 각의 부분은 다음 식을 만족한다.

${\Phi(\varphi) \over \sin\theta}{d \over d\theta}\left(\sin\theta {d\Theta \over d\theta} \right) + {\Theta(\theta) \over \sin^2 \theta}{d^2\Phi \over d\varphi^2} + l(l+1)\Theta(\theta)\Phi(\varphi) = 0.$