구면조화함수

구면조화함수(球面座標系, 영어: spherical harmonics)는 구면에서 라플라스 방정식의 해의 정규직교기저다. 라플라스 방정식이 등장하는, 전자기학과 양자역학 등에 쓰인다. 통상적 기호는 $Y_l^m$이다.

구면좌표계에서의 라플라스 방정식은 다음과 같다.

$\nabla^2 f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0$

함수 f가 다음과 같이 표현된다 하면

f(r,θ,φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ)

라플라스 방정식의 각의 부분은 다음 식을 만족한다.

${\Phi(\varphi) \over \sin\theta}{d \over d\theta}\left(\sin\theta {d\Theta \over d\theta} \right) + {\Theta(\theta) \over \sin^2 \theta}{d^2\Phi \over d\varphi^2} + l(l+1)\Theta(\theta)\Phi(\varphi) = 0.$

변수분리법을 써 이를 풀면

$\frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{d^2 \Phi(\varphi)}{d\varphi^2} = -m^2$

$l(l+1)\sin ^2(\theta) + \frac{\sin(\theta)}{\Theta(\theta)} \frac{d}{d\theta} \left [ \sin(\theta) \frac{d\Theta}{d\theta} \right ] = m^2$

어떤 m 과 l에 대한 위 두 식을 얻는다. 따라서 각의 부분의 해는 다음과 같이 두 방정식의 해의 곱으로 표현된다.

$Y_\ell^m (\theta, \varphi ) = N \, e^{i m \varphi } \, P_\ell^m (\cos{\theta} ),$

이들 함수 $Y_l^m$를 구면조화함수라 부른다. 여기서 $P_\ell^m$ 은 부수된 르장드르 함수를 말하고, N 은 표준화 상수를 말한다. N은 임의적이나, 대개 편의상 $\int_{4\pi}d\Omega\;|Y_l^m|^2=1$이 되게 정의한다. 여기서 $l$과 $m$의 기호는, 이 함수를 구형대칭의 파동함수로 해석하면 이들이 방위(azimuthal) 양자수 $l$ 및 자기(magnetic) 양자수 $m$에 해당하기 때문이다.