교환 연산자

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양자역학에서, 교환 연산자(exchange operator) 또는 바꿈 연산자란 두 동일한 입자의 라벨을 바꾸는 연산자이다. 예를 들어, 두 개의 동일한 입자를 라벨 1,2를 붙여 구별하고 이 입자로 기술되는 의 파동함수를 uEσ1σ2(1,2)로 쓰자. 그리고 이에 대한 교환연산자를 P1,2라 쓰면 이 연산자의 역할은 다음을 말한다.

P_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) = u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1)

운동상수[편집]

퍼텐셜스핀과 관련이 없는 경우, 교환연산자는 운동상수이다. 이를 확인하기 위해 간단한 두 개의 동일한 입자로 이루어진 계에서 해밀토니안 연산자와 교환연산자에 교환법칙이 성립하는지 알아보자.

먼저, 스핀퍼텐셜이 관련이 없는 경우, 해밀토니언과 퍼텐셜은 아래와 같이 쓸 수 있다.

H= \frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}+V(x_1 ,x_2)
V(x_1 ,x_2) = V(x_2 ,x_1) \;

위 해밀토니언을 입자의 라벨에 대한 함수로 만들어

H=H(1,2)\;

라 쓸 수 있다. 그러면, 퍼텐셜이 입자의 교환에 대해 대칭이기 때문에 아래와 같이 해밀토니안 또한 대칭이된다.

H(1,2)=H(2,1)\;

이 해밀토니언을 파동함수에 작용시키면

H(1,2)u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) = Eu_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)
H(2,1)u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1) = Eu_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1)

이다. 그리고 해밀토니언의 대칭성에 의해

H(2,1)u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) = Eu_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)
H(1,2)u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1) = Eu_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1)

을 얻는다. 위의 교환 연산자의 역할을 다시 쓰면,

P_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) = u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1)

이다. 이제 두 연산자에 대해 교환법칙이 성립하는지 알아보기 위해 두 연산자를 동시에 파동 함수에 작용시켜보자.

\begin{align}
H(1,2)P_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) 
   = & H(1,2)u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1) 
\\ = & Eu_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1) 
\\ = & EP_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)
\\ = & P_{1,2}Eu_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)
\\ = & P_{1,2}H(1,2)u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) 
\end{align}

즉, 두 연산자 사이에 교환법칙이 성립하므로,

[H,P_{1,2}] = 0\;

이다. 따라서, 교환연산자는 이 경우 운동상수가 된다.

고유값과 고유상태[편집]

반전성과 유사하게 교환연산자도 두 번 연속으로 연산을 하게 되면, 원래의 상태로 돌아오게 된다.

P_{1,2}P_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)=u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)

따라서 P1,2=1 이므로 고유값은 ±1 이 돤다.

고유상태또한 반전성처럼 우함수기함수고유상태인 것처럼 +1인 경우 대칭조합된 파동함수가, -1인 경우 반대칭조합된 파동함수가 고유상태가 된다.

고유값 +1 : \psi^{(S)} = \frac{1}{N_{S}} [ \psi(1,2) + \psi(2,1)]
고유값 -1 : \psi^{(A)} = \frac{1}{N_{A}} [ \psi(1,2) - \psi(2,1)]

여기서 각 N들은 규격화상수이다.

같이보기[편집]