교환연산자

양자역학에서, 교환연산자(exchange operator)란 두 동일한 입자의 라벨을 바꾸는 연산자이다. 예를 들어, 두 개의 동일한 입자를 라벨 1,2를 붙여 구별하고 이 입자로 기술되는 계의 파동함수를 u_Eσ1σ2(1,2)로 쓰자. 그리고 이에 대한 교환연산자를 P_1,2라 쓰면 이 연산자의 역할은 다음을 말한다.

$P_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) = u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1)$

운동상수

퍼텐셜이 스핀과 관련이 없는 경우, 교환연산자는 운동상수이다. 이를 확인하기 위해 간단한 두 개의 동일한 입자로 이루어진 계에서 해밀토니안 연산자와 교환연산자에 교환법칙이 성립하는지 알아보자.

먼저, 스핀과 퍼텐셜이 관련이 없는 경우, 해밀토니안과 퍼텐셜은 아래와 같이 쓸 수 있다.

$H= \frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}+V(x_1 ,x_2)$

$V(x_1 ,x_2) = V(x_2 ,x_1) \;$

위 해밀토니안을 입자의 라벨에 대한 함수로 만들어

$H=H(1,2)\;$

라 쓸 수 있다. 그러면, 퍼텐셜이 입자의 교환에 대해 대칭이기 때문에 아래와 같이 해밀토니안 또한 대칭이된다.

$H(1,2)=H(2,1)\;$

이 해밀토니안을 파동함수에 작용시키면

$H(1,2)u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) = Eu_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)$

$H(2,1)u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1) = Eu_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1)$

이다. 그리고 해밀토니안의 대칭성에 의해

$H(2,1)u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) = Eu_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)$

$H(1,2)u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1) = Eu_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1)$

을 얻는다. 위의 교환연산자의 역할을 다시 쓰면,

$P_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) = u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1)$

이다. 이제 두 연산자에 대해 교환법칙이 성립하는지 알아보기 위해 두 연산자를 동시에 파동함수에 작용시켜보자.

$\begin{align} H(1,2)P_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) = & H(1,2)u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1) \\ = & Eu_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1) \\ = & EP_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) \\ = & P_{1,2}Eu_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) \\ = & P_{1,2}H(1,2)u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) \end{align}$

즉, 두 연산자 사이에 교환법칙이 성립하므로,

$[H,P_{1,2}] = 0\;$

이다. 따라서, 교환연산자는 이 경우 운동상수가 된다.

고유값과 고유상태

반전성과 유사하게 교환연산자도 두 번 연속으로 연산을 하게 되면, 원래의 상태로 돌아오게 된다.

$P_{1,2}P_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)=u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)$

따라서 P_1,2=1 이므로 고유값은 ±1 이 돤다.

고유상태또한 반전성처럼 우함수와 기함수가 고유상태인 것처럼 +1인 경우 대칭조합된 파동함수가, -1인 경우 반대칭조합된 파동함수가 고유상태가 된다.

고유값 +1 : $\psi^{(S)} = \frac{1}{N_{S}} [ \psi(1,2) + \psi(2,1)]$

고유값 -1 : $\psi^{(A)} = \frac{1}{N_{A}} [ \psi(1,2) - \psi(2,1)]$

여기서 각 N들은 규격화상수이다.

같이보기

• 반전성
• 파울리의 배타원리