관측 가능성

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제어이론에서 관측 가능성(obervability)이란, 시스템의 출력 변수(output variable)를 사용하여 상태 변수(state variable)에 대한 정보를 알아낼 수 있는지를 나타내는 용어이다. 시스템의 출력 변수를 사용하여 특정 상태 변수에 대한 정보를 알아낼 수 있을 때 그 상태 변수는 관측 가능하다(observable)고 하며, 시스템의 모든 상태 변수가 관측 가능할 때 그 시스템은 관측 가능하다고 한다.

관측 가능성 판별[편집]

아래 관측 가능성 판별 방법은 선형 시불변 시스템(linear time-invariant system)에 대해서만 적용 가능하다.

선형 시불변 시스템의 상태 변수 방정식은 다음 식과 같다.

 \dot{\mathbf x} (t) = \mathbf A \mathbf x(t) + \mathbf B u(t)
 y (t) = \mathbf C \mathbf x(t) + D u(t)

이러한 시스템에 대하여 관측 가능성 행렬(observability matrix)  \mathbf M_O 는 다음 식과 같이 정의된다.

 {\mathbf M_O} = \begin{bmatrix} \mathbf C \\ \mathbf C \mathbf A \\ \mathbf C \mathbf A^2 \\ \vdots \\ \mathbf C \mathbf A^{n-1} \end{bmatrix}

여기에서  n 은 이 시스템의 차수이다.

이 관측 가능성 행렬의 역행렬이 존재하면 이 시스템은 관측 가능하다.

관측 가능 표준형[편집]

어떤 시스템이 다음과 같은 미분방정식으로 나타내어진다고 할 때,

 {d^n y(t) \over dt^n} + a_{n-1} {d^{n-1} y(t) \over dt^{n-1}} + \cdots + a_1 {d y(t) \over dt} + a_0 y(t) = b_{n-1} {d^{n-1} u(t) \over dt^{n-1}} + b_{n-2} {d^{n-2} u(t) \over dt^{n-2}} + \cdots + b_1 {d u(t) \over dt} + b_0 u(t)

이 시스템이 관측 가능하다면 다음과 같은 형태로 상태 변수 방정식을 쓸 수 있다.

 {\dot \mathbf x} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{bmatrix} {\mathbf x} + \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \\ \vdots \\ b_{n-1} \end{bmatrix} u
 y = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} {\mathbf x}

이러한 형태의 상태 변수 방정식을 관측 가능 표준형(observable canonical form)이라고 한다.

관련 항목[편집]