공역 (수학)

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

수학에서, 어떤 함수의 공역(共域, 영어: codomain)은 이 함수의 값들이 속하는 집합이다.

정의[편집]

수학에서, 함수 f\colon X\to Y는 집합 X의 모든 원소를 각각 집합 Y의 한 원소에 대응시키는 수학적 구조다. 이 경우, Yf공역이라고 한다. 반면, Xf정의역이다.

모든 y\in Y에 대하여, f(x)=yx\in X가 존재할 필요는 없다. 즉, 공역의 모든 원소가 정의역에 포함될 필요는 없다. 정의역의 , 즉 f(x)=yx\in X가 존재하는 y들의 집합을 f치역이라고 한다. 치역은 항상 공역의 부분집합이지만, 치역이 공역과 같을 필요는 없다.

현대적 관점에서, 함수는 정의역와 공역 및 이들 사이의 관계(그래프)로 구성된다. 즉, 그래프가 같더라도 공역이 다르다면 두 함수를 다른 함수로 간주한다.

[편집]

함수 f가 다음과 같이 정의되었다고 하자.

f\colon \mathbb R\to\mathbb R
f\colon x\mapsto x^2

이 경우, f의 공역은 \mathbb R이지만, f의 치역은 [0,\infty)\subset\mathbb R이다.

함수 g가 다음과 같이 정의되었다고 하자.

g\colon\mathbb R\to[0,\infty)
g\colon x\mapsto x^2

fg는 같은 그래프를 가지지만, 현대적 관점에서는 두 함수는 같지 않다. 그 이유는 두 함수의 공역이 다르기 때문이다.

함수를 하나 더 정의해 보면 왜 그런지 알 수 있다.

h\colon x\mapsto \sqrt x

정의역은 반드시 [0,\infty)로 정의되어야 한다.

h\colon[0,\infty)\to\mathbb R

이제 함수를 합성해 보자.

h \circ f
h \circ g

이 둘 중에서 어떤 합성 함수가 올바른 것인가?

밝혀진 대로, 첫 번째 것은 올바른 합성 함수가 아니다. f의 치역을 알지 못한다고 가정하면(확실히 알지 못하는 상황이라면 이렇게 가정해야 한다), 단지 치역이 \mathbb R의 일부가 된다는 것밖에 알지 못한다. 그러면 제곱근이 음수에 대하여 정의되지 않았기 때문에 문제가 생기게 된다. 이제 모순점이 생길 수 있다는 것을 알았다.

이것은 분명치 못하며, 이런 것은 피해야 한다. 함수의 합성은 따라서 오른쪽 함수의 공역과 왼쪽 함수의 정의역이 같아야 할 수 있다는 것이다. 치역은 함수를 합성하는 시점에서는 결정되지 않을 수 있는 것이기 때문이다.

공역은 전사 함수인지 아닌지에 대해서도 영향을 줄 수 있다. g는 전사 함수인데, f는 그렇지 않다. 공역은 함수가 단사 함수인지 아닌지에는 영향을 미치지 않는다.

함께 보기[편집]