공역 (수학)

수학에서 말하는 공역(共域)은 함수의 입력인 정의역에 대응(혹은 사상)되는 출력의 집합이다. 어떤 주어진 함수 $f\colon\, A\rightarrow B$에 대하여 함수 $f$가 집합 $A$에 정의되므로, 집합 $A$는 정의역이라고 불리고, $B$는 가능한 값들의 집합으로 $f$의 공역이라고 불린다. $\lbrace f(x) | x \in A \rbrace$에서 실제로 대응되는 값들의 집합은 $f$의 치역이라고 불린다. 치역과 공역의 차이점은 표기의 차이이지만, 어떤 함수가 다른 함수와 비교될 때 중요해진다. 한 가지 중요한 점은 공역은 함수의 특성의 일부분으로 정의되는 것이지만, 치역은 각각의 함수마다 구분되는 함수 구조의 결과물이라고 할 수 있다. 모든 공역은 치역을 포함하고 있다. 치역은 공역의 최소 영역이다. 정확히 말하면 치역이 $B$의 부분 집합이 아니라면, 3변수 $(f, A, B)$는 함수가 아니라는 것이다.

예제

함수 $f\,$를 실수 집합에서

$f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$

$f\colon\,x\mapsto x^2.$

로 정의하면, $f\,$의 공역은 $\mathbb{R}$이지만, 분명히 $f(x)\,$는 음수값은 가지지 않고, 따라서 치역은 집합 $\mathbb{R}_0^+$(음수가 아닌 실수, 즉 구간 $[0,\infty)$)가 된다.

$0\leq f(x)<\infty.$

또 함수 $g\,$를 다음과 같이 정의할 수 있다:

$g\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+_0$

$g\colon\,x\mapsto x^2.$

$f\,$와 $g\,$는 주어진 수에 대해 같은 효과가 있지만 현대적 관점에서는 두 함수는 같지 않은데, 그 이유는 공역이 다르기 때문이다.

함수를 하나 더 정의해 보면 왜 그런지 알 수 있다.

$h\colon\,x\mapsto \sqrt x.$

정의역은 반드시 $\mathbb{R}^+_0$로 정의되어야 한다:

$h\colon\mathbb{R}^+_0\rightarrow\mathbb{R}$.

이제 함수를 합성해 보자.

$h \circ f$

$h \circ g$

이 둘 중에서 어떤 합성 함수가 올바른 것인가?

밝혀진 대로, 첫 번째 것은 올바른 합성 함수가 아니다. $f\,$의 치역을 알지 못한다고 가정하면(확실히 알지 못하는 상황이라면 이렇게 가정해야 한다), 단지 치역이 $\mathbb(R)$의 일부가 된다는 것밖에 알지 못한다. 그러면 제곱근이 음수에 대하여 정의되지 않았기 때문에 문제가 생기게 된다. 이제 모순점이 생길 수 있다는 것을 알았다.

이것은 분명치 못하며, 이런 것은 피해야 한다. 함수의 합성은 따라서 오른쪽 함수의 공역과 왼쪽 함수의 정의역이 같아야 할 수 있다는 것이다. 치역은 함수를 합성하는 시점에서는 결정되지 않을 수 있는 것이기 때문이다.

공역은 전사 함수인지 아닌지에 대해서도 영향을 줄 수 있다. $g\,$는 전사 함수인데, $f\,$는 그렇지 않다. 공역은 함수가 단사 함수인지 아닌지에는 영향을 미치지 않는다.

읽을거리

• 정의역
• 치역