거리공간화 정리

거리공간화 정리(Metrization Theorem)란 위상수학에서 주로 다루는 주제인 거리공간화(Metrization)에 관련된 정리를 의미한다. 이 문서에서는 발견한 수학자의 이름이 붙을 정도로 유명한 정리들만을 나열할 것이다. 관련 분야에 관해 초기의 업적으로는 러시아 수학자인 파벨 사무일로비치 우리손(러시아어: Па́вел Самуи́лович Урысо́н)의 것이 유명하다.

거리공간화

어떤 위상공간 $(X, T)$가 주어졌을 때, 이 공간이 거리공간화 가능하다는 것은 다음과 같은 의미이다.

• 집합 $X$상의 거리함수 $d(x_1,x_2)$를, 원래의 위상 $T$와 이 거리함수가 유도하는 거리위상 $T_d$가 동일하게 되도록 잡을 수 있다.

이 때 원래의 위상공간은 거리위상에 의해 유도되는 거리공간과 위상동형이므로, 그 자체를 하나의 거리공간으로 볼 수 있다. 이러한 거리함수 $d$를 찾아가는 과정을 거리공간화라고 한다.

그러나 연구의 중점은, 거리공간화 자체보다는 주로 어떤 공간이 거리공간화가 가능한지에 놓여 있다. 이처럼, 어떤 성질을 갖는 공간이 거리공간화 가능한지의 조건을 구하는 문제를 거리공간화 문제라고 한다. 이 문제는 일반 위상수학에서 중요한 문제 중 하나이다.

국소적 거리화

유사한 개념으로, 거리공간화 가능의 조건을 약화시킨 국소적 거리화 가능이라는 것이 있다. 이는 위상공간 $(X, T)$가 주어졌을 때, $X$ 상의 임의의 점 $x$에 대하여 그 부분공간이 되면서 거리공간화 가능인 $x$의 열린 근방 $U$가 존재한다는 성질을 의미한다. 자명히 거리공간화 가능이면 국소적 거리화 가능이지만(전체 집합은 열린 집합이며 임의점의 근방이 되므로), 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

스톤의 정리

거리공간은 정칙공간이고, 정칙공간일 때 파라컴팩트 공간이기 위해서는 준파라컴팩트 공간이기만 하면 된다. 이 조건은 거리공간 조건에 의해 쉽게 만족되므로, 다음의 정리가 성립한다. 이 정리에는 미국의 수학자 마셜 하비 스톤(Marshall Harvey Stone)의 이름이 붙어 있다.

• 정리: 모든 거리공간은 파라컴팩트공간이다. 즉, 거리공간화 가능한 공간이면 파라컴팩트공간이다.

이 정리는 다음의 스미르노프 거리공간화 정리의 일부가 된다.

스미르노프 거리공간화 정리

거리공간화 가능성 조건과 국소적 거리화 가능을 동치로 만들어주는 조건은 바로 공간의 파라컴팩트성이다. 이는 다음과 같은 스미르노프 거리공간화 정리로 주어진다.

• 정리: 어떤 위상공간에 대하여, '거리공간화 가능이다'라는 성질과 '파라컴팩트 $T_2$ 이고 국소적 거리화 가능이다'라는 성질은 동치이다.

우리손의 거리공간화 정리

다음 정리는 사실 우리손이 아니라 안드레이 니콜라예비치 티호노프(러시아어: Андрей Николаевич Тихонов)가 증명했지만, 관련 주제에 대한 업적을 기려 우리손의 이름이 붙어 있다. 실제로 우리손이 증명한 것은 '어떤 위상공간이 제2가산공간이고 동시에 정규공간일 때 거리공간화 가능'하다는 정리였고, 티호노프는 이것을 좀 더 일반화한 것이다.

• 정리: 어떤 위상공간이 제2가산공간이며 동시에 정칙공간일 경우, 거리공간화 가능하다.

정리의 역

우리손의 거리공간화 정리의 역은 다음과 같이 주어진다. 그러면 필요충분조건이 되는데, 이는 이후 나가타-스미르노프 거리공간화 정리로 일반화되었다.

• 정리: 어떤 위상공간이 가분공간이고 거리공간화 가능하면, 제2가산공간이며 정칙공간이다.

이는 힐베르트 공간을 도입하여 쉽게 보일 수 있다. 먼저 제2가산인 정칙공간은 힐베르트 공간의 부분공간과 위상적으로 동형이다. 또 힐베르트 공간은 거리공간이며 제2가산공간이다. 따라서 힐베르트 공간의 어떤 부분공간도 제2가산이므로, 가분이다. 마지막으로 거리공간은 정규공간이며, 정규공간은 정칙공간이고, 거리공간 위에서 가분과 제2가산은 동치이므로 결론을 얻는다.

유사 형태

주어진 공간이 컴팩트인 하우스도르프 공간이라는 조건을 주면, 거리공간화 가능 조건은 다음과 같이 간략화된다. 그러나 이 경우 배경 조건이 너무 강력하다는 문제점이 있다.

• 정리: 컴팩트인 하우스도르프 공간이 거리공간화 가능일 필요충분조건은 제2가산인 것이다.

나가타-스미르노프 거리공간화 정리

수학자 스미르노프와 일본의 수학자 나가타 마사요시(永田雅宜)는 우리손의 거리공간화 정리의 역 형식에서 가분 조건을 빼고 필요충분조건의 일반화를 시도하였다. 그 결과는 다음의 정리로 주어진다.

• 정리: 어떤 위상공간에 대하여, '거리공간화 가능이다'라는 성질과 '정칙이고 σ-국소 유한 기저를 갖는다'라는 성질은 동치이다.

이 정리의 증명은 몇 단계로 이루어질 수 있는데, 그 중 중요한 수순으로 무어 공간의 개념을 이용하는 경우가 있다.

빙 거리공간화 정리

나가타-스미르노프 거리공간화 정리의 발표와 유사한 시기에 미국의 수학자 빙(RH Bing)이 유사한 형식의 거리공간화 정리를 발표하였다. 이 두 정리를 통칭하여 빙-나가타-스미르노프 거리공간화 정리라고도 한다. 증명 도중에 무어 공간을 사용하는 경우가 있다는 점에서 위의 정리와 유사하다.

• 정리: 어떤 위상공간에 대하여, '거리공간화 가능이다'라는 성질과, '정칙이고 σ-국소 이산 기저를 갖는다'라는 성질은 동치이다.

같이 보기

• 고른공간화
• 컴팩트화
• 파라컴팩트 공간
• 분리 공리

참고 문헌

• 박대희, 안승호, 『위상수학(2/e)』, 경문사, 2009
• 김승욱, 『위상수학-집합론을 중심으로』, 경문사, 2003
• James R. Munkres, Topology(2/e), Prentice hall, 2000