감마함수

실수축 상에서 감마함수의 그래프

감마함수는 계승의 개념을 실수와 복소수로까지 확장시킨 함수이다. 감마함수는 복소수 z의 실수부가 양수일 때, 아래와 같은 적분으로 정의된다.

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

위 정의는 $z$가 양이 아닌 정수를 제외한 임의의 복소수로 확장할 수 있다.

특별히 $z$가 자연수($z = n$) 인 경우, 감마함수를 계승으로 쓸 수 있다.

$\Gamma \left(n\right) = (n-1)!$

감마함수는 확률분포를 비롯한 여러 확률과 통계, 조합론, 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다.

정의

감마함수의 절대값을 나타낸 그림. 양이 아닌 정수에서 발산하는 부분이 있음을 볼 수 있다.

복소평면 전체로 확장된 버전의 감마함수.

감마함수의 정의에는 크게 3가지가 있는데, 모두 동등함을 보일 수 있다.

적분을 통한 정의

다음 정의는 적분을 사용하여 정의된 감마함수로, 오일러 적분이라고도 불린다.

$\Gamma(z) = \int _0 ^\infty t^{z-1} \, e^{-t} \, dt\,, \qquad \mathrm{Re}\, z > 0$

위 적분은 $\mathrm{Re}\, z > 0$ 인 영역에서 절대수렴한다.

이 함수는 $z = - n (n = 0, 1, 2, 3, \cdots)$에서 단순극을 갖는 유리형함수로, 각 단순극에서 유수의 값은 $\textstyle {(-1)^n \over n!}$이다. 여기에 해석적 접속을 사용해 이 함수의 정의역을 위의 단순극을 제외한 전 복소평면으로 확장할 수 있다. 이 확장된 버전의 함수를 감마함수라 부른다.

극한을 통한 정의 (오일러)

$\begin{align} \Gamma(z) &= \lim_{n \rightarrow \infty} {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n \over z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)} n^z \\ (z &\ne 0, \, -1,\, -2 ,\, -3 ,\, \cdots) \end{align}$

이 정의는 오일러의 이름을 따 오일러 극한 형태라고도 불리기도 한다.

무한곱을 통한 정의 (바이어슈트라스)

$\Gamma(z) = {e^{-\gamma z} \over z} \prod_{n=1}^\infty \left(1+ {z \over n} \right) ^{-1} e^{z \over n}$

여기서 γ는 오일러-마스체로니 상수이다. 이 정의는 바이어슈트라스의 이름을 따 바이어슈트라스 무한곱 형태라고도 불리기도 한다.

계승의 일반화에서 주의점

이 부분의 본문은 보어-몰러업 정리입니다.

만약 감마함수를 자연수 $n$에 대해

$\Gamma \left(n\right) = (n-1) !.$

을 만족하는 함수로 정의하면 감마함수는 유일하지 않다. 예를 들어

$f(x) = \Gamma (x) \cos^2 \pi x \;$

또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마함수는 이중 유일하게 $\ln \Gamma (z)$가 양의 실수축상에서 위로 볼록인 함수이다.

성질

• 감마함수는 다음과 같은 함수방정식을 만족한다.

$\Gamma (z+1) = z \Gamma (z)$

• 오일러의 반사공식

$\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!$

• 두배 공식

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z). \,\!$

• 곱의 정리

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz). \,\!$

두배공식은 이 공식의 특별한 경우이다.

• 복소켤레

$\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z}) \,\!$

• 반정수에서의 함수의 값

$\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)= \sqrt{\pi}\, \frac{n!!}{2^{\frac{n+1}2}}$    ($n$은 홀수)

여기서 n!!은 이중계승을 말한다. n이 0인 경우는 다음과 같은 값이 된다.

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}, \,\!$

• 미분

감마함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마함수 ψ₀(z)사용해 나타낼 수 있다.

$\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z). \,\!$

특별히, 양수 m에서의 감마함수의 미분은 아래와 같이 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다.

$\Gamma'(m+1) = m!\cdot\left( - \gamma + \sum_{k=1}^m\frac{1}{k} \right).$

일반적으로, 감마함수의 n차 미분은 다음과 같다.

${d^{n} \over (dx)^{n}}\,\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln^{n} t\,dt.$

• 유수

감마함수의 극, z가 음수인 경우에서의 유수의 값은 다음과 같다.

$\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}. \,\!$

함수값

몇몇 경우의 감마함수의 값은 다음과 같다.

$\begin{array}{lll} \Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \\ \Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\ \Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\ \Gamma(1) &= 0! &= 1 \\ \Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\ \Gamma(2) &= 1! &= 1 \\ \Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\ \Gamma(3) &= 2! &= 2 \\ \Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \\ \Gamma(4) &= 3! &= 6 \\ \end{array}$

활용

초구의 부피

이 부분의 본문은 초구입니다.

반지름이 $R$인 $n$차원 초구의 부피는 다음과 같이 주어진다.

$V_n={\pi^\frac{n}{2}\over \frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} R^n ={C_n R^n}$

감마분포

이 부분의 본문은 감마분포입니다.

감마함수의 피적분함수를 감마함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포라 하고, 그 확률밀도함수 $f(x)$는 다음과 같다.

$f(x) = \begin{cases} {1 \over \beta^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1}e^{-{x \over \beta}}, & \mbox{if } x \ge 0 \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$

여기서 $\alpha, \beta$는 감마함수의 매개변수로 양수이다.

같이 보기

• 불완전 감마함수
• 베타함수