가측함수

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측도론에서, 가측함수(可測函數, 영어: measurable function) 또는 측정가능한 함수는 두 측도공간 사이에 정의되는 함수로, 집합의 가측성을 보존하는 함수를 의미한다.

정의[편집]

집합 X에서 정의되는 시그마-대수 \Sigma와 집합 Y에서 정의되는 시그마 대수 \Tau와 함수 f : X \to Y에 대하여, \Tau의 임의의 원소 Y에 대해 f^{-1}(Y) = \{x: f(x) \in Y\}가 측도가능하다면(즉 \Sigma에 속할 경우), fΣ/Τ-측도가능, 혹은 측정가능이라고 한다. 함수 f의 가측성을 강조하기 위해, f : X \to Y 표기에 시그마 대수를 추가하여 f : (X, \Sigma) \to (Y, \Tau)로 표기하기도 한다.

만약 집합 Y실수복소수위상공간이며 \Tau가 명시적으로 주어지지 않은 경우, 보통 \TauY보렐 집합들의 모임으로 정의한다.

가측함수의 특수 예[편집]

만약 (X, Σ), (Y, Τ)이 보렐 공간이면, 가측함수 f보렐 함수로 부른다. 연속함수는 보렐 함수이지만, 모든 보렐 함수가 연속은 아니다. 또한, 루진의 정리(Luzin's theorem)에 따르면 가측함수는 거의 연속함수이다.

정의에 따르면 확률변수표본 공간에서의 가측함수이다.

가측함수의 성질[편집]

  • 측정 가능한 두 실함수의 합과 곱은 측정가능하다.
  • 만약 함수 f\Sigma_1/\Sigma_2-측정가능이고, 함수 g\Sigma_2/\Tau-측정가능일 때, 합성함수 g \circ f\Sigma_1/T-측정가능이다. [1]
  • 가측함수들의 각 점에서의 극한함수(pointwise limit)는 가측함수이다.
  • 가측함수가 아니라면 르베그 적분이 불가능하다.
  • 르베그 측도로 측정 가능한 실함수 f : RR이 주어져 있을 때, 모든 실수 a에 대해서 집합
\{x \in \R : f(x)>a \}

은 르베그 측도로 측정 가능한 집합이다. f가 르베그 측도로 측정 가능한 함수라면, g가 음이 아닌 임의의 함수일 때 mid{-g,f,g}는 적분 가능하다. 그 역도 마찬가지로 성립한다. (즉, 필요충분조건이다.)

불가측함수[편집]

모든 함수가 가측함수는 아니다. 예를 들면, 만약 A\R에서의 불가측부분집합인 경우, 지시함수 1_A(x)는 불가측함수이다.

주석[편집]

  1. Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley. ISBN 0-471-00710-2