가측함수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

측도론에서, 가측함수(可測函數, 영어: measurable function)는 두 가측공간 사이에 정의되는 함수로, 집합의 가측성을 보존하는 함수를 의미한다.

정의[편집]

가측공간 (X,\mathcal F), (Y,\mathcal G) 사이의 가측함수 f\colon X\to Y는 가측집합의 원상이 가측집합인 함수이다. 즉, 다음 성질이 성립하여야 한다.

  • 모든 S\in\mathcal G에 대하여, f^{-1}(S)\in\mathcal F

만약 공역유클리드 공간인 경우, 보통 공역에 보렐 시그마 대수를 부여한다. 만약 정의역유클리드 공간일 영우, 보통 공역에 르베그 시그마 대수를 부여한다. 즉, "가측함수 \mathbb R\to\mathbb R"는 보통 (\mathbb R,\mathcal L(\mathbb R))\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))을 의미한다.

성질[편집]

두 가측함수

f\colon(X_1,\mathcal F_1)\to(X_2,\mathcal F_2)
g\colon(X_2,\mathcal F_2)\to(X_3,\mathcal F_3)

가 주어졌을 때, 그 합성함수

g\circ f\colon(X_1,\mathcal F_1)\to(X_3,\mathcal F_3)

역시 가측함수이다.

보렐 가측함수[편집]

XY보렐 시그마 대수를 갖춘 위상공간이라고 하면, 다음이 성립한다.

(X,\mathcal F)가 임의의 가측공간일 경우, 다음이 성립한다.

  • 두 가측함수 f,g\colon(X,\mathcal F)\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))에 대하여, f+gf\cdot g는 가측함수이다.
  • 가측함수의 열 f_1,f_2,\dots\colon(X,\mathcal F)\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))의 점별 극한(pointwise limit)은 가측함수이다.
  • 모든 르베그 적분 가능 함수 X\to\mathbb R는 가측함수이다.

르베그 가측함수[편집]

가측함수 f\colon(\mathbb R,\mathcal L(\mathbb R))\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))에 대하여, 모든 실수 a에 대해서 집합 f^{-1}(a,\infty)은 르베그 가측집합이다. 또한, g가 음이 아닌 임의의 함수일 때 mid{-g,f,g}는 적분 가능하다. 그 역도 마찬가지로 성립한다. (즉, 필요충분조건이다.)

[편집]

정의에 따르면 확률변수표본 공간에서의 가측함수이다.

모든 함수가 가측함수는 아니다. 예를 들면, 만약 A\subset\mathbb R가 불가측 집합인 경우, 지시함수 1_A(x)는 불가측함수이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]