가측함수

가측함수((영어):measurable function), 측정가능한 함수는 두 측도공간 사이에 정의되는 함수로, 집합의 가측성을 보존하는 함수를 의미한다.

정의

집합 $X$에서 정의되는 시그마 대수 $\Sigma$와 집합 $Y$에서 정의되는 시그마 대수 $\Tau$와 함수 $f : X \to Y$에 대하여, $\Tau$의 임의의 원소 $Y$에 대해 $f^{-1}(Y) = \{x: f(x) \in Y\}$가 측도가능하다면(즉 $\Sigma$에 속할 경우), $f$는 Σ/Τ-측도가능, 혹은 측정가능이라고 한다. 함수 $f$의 가측성을 강조하기 위해, $f : X \to Y$ 표기에 시그마 대수를 추가하여 $f : (X, \Sigma) \to (Y, \Tau)$로 표기하기도 한다.

만약 집합 $Y$가 실수나 복소수의 위상공간이며 $\Tau$가 명시적으로 주어지지 않은 경우, 보통 $\Tau$는 $Y$의 보렐 집합들의 모임으로 정의한다.

가측함수의 특수 예

만약 (X, Σ), (Y, Τ)이 보렐 공간이면, 가측함수 f을 보렐 함수로 부른다. 연속함수는 보렐 함수이지만, 모든 보렐 함수가 연속은 아니다. 또한, 루진의 정리(Luzin's theorem)에 따르면 가측함수는 거의 연속함수이다.

정의에 따르면 확률변수는 표본 공간에서의 가측함수이다.

가측함수의 성질

• 측정 가능한 두 실함수의 합과 곱은 측정가능하다.

• 만약 함수 f가 $\Sigma_1/\Sigma_2$-측정가능이고, 함수 g가 $\Sigma_2/\Tau$-측정가능일 때, 합성함수 $g \circ f$는 $\Sigma_1/T$-측정가능이다.

• 가측함수들의 각 점에서의 극한함수(pointwise limit)는 가측함수이다.

• 가측함수가 아니라면 르베그 적분이 불가능하다.

• 르베그 측도로 측정 가능한 실함수 f : R → R이 주어져 있을 때, 모든 실수 a에 대해서 집합

$\{x \in \R : f(x)>a \}$

은 르베그 측도로 측정 가능한 집합이다. f가 르베그 측도로 측정 가능한 함수라면, g가 음이 아닌 임의의 함수일 때 mid{-g,f,g}는 적분 가능하다. 그 역도 마찬가지로 성립한다. (즉, 필요충분조건이다.)

불가측함수

모든 함수가 가측함수는 아니다. 예를 들면, 만약 $A$가 $\R$에서의 불가측부분집합인 경우, 표시함수 $1_A(x)$는 불가측함수이다.