가우스-뤼카 정리

가우스-뤼카 정리(Gauss–Lucas theorem)란 복소해석학의 정리로서, 어떤 다항식이 주어졌을 때 복소평면상에서 그 영점들의 기하학적인 위치관계에 관한 것이다. 카를 프리드리히 가우스(Karl Friedrich Gauss)와 에두아르 뤼카(François Édouard Anatole Lucas)가 각각 독립적으로 제시하였다. 이 정리는 다음과 같이 공식화될 수 있다:

• 복소계수다항식 $P(z)$에 대해 어떤 직선에 의해 결정되는 반평면이 존재하여, $P(z)$의 모든 영점들이 그 반평면에 놓이면, $P(z)$의 모든 $n$계 도함수들의 영점도 같은 반평면에 놓인다.

증명

1계 도함수의 경우만 증명하면 나머지 절차는 귀납법에 의해 자명하다. 대우법으로 다음과 같이 증명한다:

1. $n$차 다항식 $P(z)$의 모든 영점들을 $(z_i)$라 하자. 그러면 $\frac{P^\prime(z)}{P(z)}= \sum_{i=1}^n \frac{1}{z-z_i}$ 이 성립한다.
2. 이때 주어진 직선 $L$을 기술하는 방정식을 $z(t)= at+ b$라 하고, $z_i$들이 모두 $L$의 오른쪽에 있다고 가정하자.
3. 만약 어떤 점 $z$가 $L$의 오른쪽에 있지 않다면, $\operatorname{Im}\left(\frac{z-a}{b}\right)\ge 0$ 이어야 한다.
4. 그러므로, $\operatorname{Im}\left(\frac{z-z_i}{b}\right)> 0$ 이고, 드 무아브르의 정리에 의하여 $\operatorname{Im}\left(\frac{b}{z-z_i}\right)< 0$ 가 된다.
5. 따라서, $\operatorname{Im}\left(b\frac{P^\prime(z)}{P(z)}\right)= \operatorname{Im}\left(\sum_{i=1}^n \frac{b}{z-z_i}\right)< 0$ 에서 $P^\prime(z)\ne 0$ 이므로 증명이 끝난다.

대수학의 기본 정리와의 관계

이 가우스-뤼카 정리는 대수학의 기본 정리와 필요충분조건 관계에 있다. 우선 이상에서 가우스-뤼카 정리의 증명에 차수가 n인 함수는 n개의 근을 가진다는 것이 전제되어 있다. 또한 n차 복소계수다항식 P(z)의 근이 존재하지 않는다고 가정하면, P(z)의 n-1계 도함수는 자명히 하나의 근을 갖는데, 이 근에서 실축 방향으로 +1만큼 떨어진 점을 지나고 허축에 평행한 직선을 그으면 이 오른쪽에 P(z)의 모든 근이 존재하고, 가우스-뤼카 정리에 의해 P(z)의 n-1계 도함수의 근도 이 오른쪽에 존재해야 하므로 모순이 된다. 따라서, 임의의 복소계수다항식 P(z)의 근은 존재해야 한다.

같이 보기

• 마든의 정리

참고 문헌

• 강승필 (2008). 《『해설 복소함수론』》. 경문사, p.48쪽