복소해석학에서, 가우스-뤼카 정리(영어: Gauss–Lucas theorem)는 복소수 다항식의 임계점이 영점의 볼록 껍질에 놓인다는 정리이다.
복소수 다항식 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 도함수 의 영점은 의 영점의 볼록 껍질에 속한다. 이를 가우스-뤼카 정리라고 한다.
다음과 같은 명제를 보이는 것으로 족하다.[1]
- 만약 의 모든 영점이 어떤 반평면 에 속한다면, 의 모든 영점 역시 에 속한다.
이를 위해 의 (중복도를 고려한) 영점을 이라고 하고, 라고 하자. 또한 라고 하자. 그러면 이므로, 다음이 성립한다.
이는 에 로그를 취한 뒤 에서의 도함수를 취하여 얻는다. 는 어떤 유향 직선 의 오른쪽 반평면이며, 다음과 같은 방정식을 갖는다.
따라서, 각 에 대하여, 다음이 성립한다.
역수의 허수부는 부호가 반대되므로, 다음이 성립한다.
이에 따라 다음이 성립한다.
즉, 이다.
카를 프리드리히 가우스와 에두아르 뤼카가 각각 독립적으로 제시하였다.
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
- 강승필 (2008). 《『해설 복소함수론』》. 경문사. p.48쪽.