가분공간

두 점이 열린 집합에 의해 분리되는 공간에 대해서는 분리된 공간 문서를 참조하십시오.

가분공간(separable space, 可分空間)은 위상공간으로서, 가산공리 중 하나인 다음의 조건을 만족하는 공간이다.

• 가산 조밀 부분공간이 존재한다.

성질

• 제2가산공간은 가분공간이다. 반대로, 거리공간인 가분공간은 제2가산공간이다.
• 거리공간 상에서 린델뢰프 공간과 가분공간은 동치이다.
• 제1가산공간인 위상군이 가분공간이면 제2가산공간이다.
• X가 가분공간, Y가 임의의 위상공간일 때 연속함수 f:X → Y가 존재하면 f(X)도 가분공간이다.
• 가분공간의 열린 부분공간은 가분공간이다. (Willard 1970)
• 컴팩트 거리공간은 가분공간이다.
• 가분공간의 가산 개 곱공간은 가분공간이다.
• 가분공간의 교차하지 않는 열린 집합들을 모은 집합족은 많아야 가산 개의 원소를 갖는다.
• 실수의 보통위상공간 R은 가분공간이다. 자연수 n에 대해 $R^n$ 도 가분공간이다.
• 임의의 위상공간은 동일한 기수를 갖는 가분공간의 부분공간과 위상동형이다. (Sierpinski 1952)

같이 보기

• 제1가산공간
• 제2가산공간

참고 문헌

• James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall.