미분기하학에서 복소수 미분 형식(複素數微分形式, 영어: complex differential form)은 복소다양체 위에 정의한 미분 형식이다. (실수) 매끄러운 다양체 위의 미분 형식과는 달리, 정칙 형식 · 돌보 코호몰로지 등의 개념을 정의할 수 있다.
차원의 복소다양체
을 생각하자. 그렇다면, 그 접다발의 복소화
는 복소구조
,
의 고윳값
에 따른 고유 공간
![{\displaystyle \mathrm {T} ^{\mathbb {C} }M=\mathrm {T} ^{+}M\oplus \mathrm {T} ^{-}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/decb7d52a8381ed264c50600e70aa0e5553614f5)
으로 분해되며, 이들은 각각 복소수 벡터 다발을 이룬다. 이 가운데
은 항상 정칙 벡터 다발이지만,
은 일반적으로 그렇지 않다.
이들에 각각 올별 복소수 쌍대 공간을 취하면, 복소수 벡터 다발
![{\displaystyle \mathrm {T} ^{+*}M=\Omega ^{1,0}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0866eeed23d9a70c4301d79514a9dcdc86dfa4f)
![{\displaystyle \mathrm {T} ^{-*}M=\Omega ^{0,1}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d4553337bbc39e3fea114e78b83cd8093ccaecd)
을 얻는다. 이들의 쐐기곱을 취하여 복소수 벡터 다발
![{\displaystyle \Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}M\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}M} _{p}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}M\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}M} _{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a6a75a64aefdd64e04fc514734733c0809287e)
을 취할 수 있다. (만약
이라면 이는 역시 정칙 벡터 다발이다.) 이 다발의 매끄러운 단면을
차 복소수 미분 형식이라고 한다.
은 정칙 벡터 다발이므로, 정칙 단면의 개념을 정의할 수 있다.
의 정칙 단면을
차 정칙 미분 형식(正則微分形式, 영어: holomorphic differential form)이라고 한다.
보다 일반적으로, 복소다양체
위의 정칙 벡터 다발
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
값의 복소수 미분 형식(영어:
-valued complex differential form)을
의 매끄러운 단면으로 정의할 수 있다. 마찬가지로,
값의
차 정칙 미분 형식은 정칙 벡터 다발
의 정칙 단면이다.
국소 좌표계로의 표현[편집]
국소적으로,
의 임의의 점의 근방
에 복소수 좌표
(
)를 잡을 수 있다. 이에 따라 실수 다양체와 마찬가지로 국소적으로 복소수 미분 형식
![{\displaystyle \mathrm {d} z^{i}\in \Omega ^{1,0}(U)\qquad (i\in \{1,\dotsc ,n\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527c7dd7acf7362842410bb2b682239aaa557b4e)
![{\displaystyle \mathrm {d} {\bar {z}}^{i}\in \Omega ^{0,1}(U)\qquad (i\in \{1,\dotsc ,n\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a567fcf13de0a27d4e22d4c487c1e383d6f813)
를 정의할 수 있다. 그렇다면, 일반적인 복소수 미분 형식은 국소적으로
![{\displaystyle \alpha =\sum _{i,j,\dotsc ,k,l,\dotsc }f_{ij\dotso kl\dotso }\mathrm {d} z^{i}\wedge \mathrm {d} z^{j}\wedge \dotsb \mathrm {d} {\bar {z}}^{k}\wedge \mathrm {d} {\bar {z}}^{l}\wedge \dotsb }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20cd7dab562a8dcf74e260a2f7d85ed07e48fe06)
![{\displaystyle f_{ij\dotso kl\dotso }\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U,\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e10f7cffb0020c1b8c6347498741f88ca7df40)
꼴의 형식을 취한다. 여기서
가
개,
가
개 있으면 이를
-형식으로 부른다.
국소 좌표계로는 p차 정칙 미분 형식
는 다음과 같이 쓸 수 있다.
![{\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,\mathrm {d} z^{I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7fe089835cfca1f8d0b974b015a5988ff652ef0)
여기서
는 정칙 함수다. 즉,
차 정칙 미분 형식은
![{\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b6fe278f26391dfee4049e694e95949bc7bbef)
을 만족하는
차 복소수 미분 형식
이다.
실수 미분 형식과의 관계[편집]
복소다양체
은 복소구조를 잊으면 매끄러운 다양체이므로, 그 위에 (실수) 미분 형식을 정의할 수 있다. 이 경우
![{\displaystyle (\mathrm {T} ^{*}M)^{\mathbb {C} }=\Omega ^{1,0}M\oplus \Omega ^{0,1}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e73263a6c9c9f1188045e415bd36a48e6db5f79)
이므로,
![{\displaystyle \Omega ^{k}(M)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\Omega ^{k}(M;\mathbb {C} )=\bigoplus _{q=0}^{k}\Omega ^{k-q,q}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d81ab805537b35eb7023116edfde1fb8fa131d0)
이 된다.
이 경우, 외미분
![{\displaystyle \mathrm {d} \colon \Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5966cf82404cd6dd0d389328b2b3abe64bf16e5)
은 돌보 복합체의 추가 등급에 따라서 분해되는데, 이 경우 항상
![{\displaystyle \mathrm {d} ^{\mathbb {C} }\colon \Omega ^{p,q}(M)\to \Omega ^{p,q+1}(M)\oplus \Omega ^{p+1,q}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8616029cfd71fe1972893bd315d3724e01051918)
임을 보일 수 있다. 즉,
![{\displaystyle \partial \colon \Omega ^{p,q}(M)\to \Omega ^{p+1,q}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112ff88fab7b6a5e193200392cc373ebdd64de32)
![{\displaystyle {\bar {\partial }}\colon \Omega ^{p,q}(M)\to \Omega ^{p,q+1}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a496481e2ed09545dd6854d6b91bbbb4f2a1628c)
로 정의하면,
![{\displaystyle \mathrm {d} =\partial +{\bar {\partial }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ab8a52931e1dc65c25c24f159531209934ba26)
이다. 이 두 미분 연산자
과
을 돌보 연산자(Dolbeault演算子, 영어: Dolbeault operator)라고 부른다.
국소 좌표계로는 돌보 연산자를 외미분과 유사하게 정의할 수 있다. 즉
-형식
의 경우,
![{\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfeb2d98c01921871558a1d8b603c081649762d1)
그 돌보 연산자는 다음과 같다.
![{\displaystyle \partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89108d53b650c84d25c1cf9eac38daeb982894db)
![{\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce6b7d071691d2da54932d9c84384a5aeeaac088)
여기서
,
는 다중지표다.
돌보 코호몰로지[편집]
복소다양체의 돌보 연산자들은 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.
![{\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b5ad696b8b3aa647bad7f0763b2dcd75667c748)
따라서
또는
로서 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 가운데,
로 정의되는 것은
의 정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산하며, 반대로
로 정의되는 것은
의 반정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산한다. 보통 정칙 함수 및 정칙 단면의 개념을 사용하므로, 보통
로 정의되는 코호몰로지를 사용한다.
즉, 다음과 같은, 복소수 벡터 공간(의 층)으로 구성된 사슬 복합체를 생각하자.
![{\displaystyle \Omega ^{p,0}{\stackrel {{\bar {\partial }}_{0}}{\to }}\Omega ^{p,1}{\stackrel {{\bar {\partial }}_{1}}{\to }}\Omega ^{p,2}{\stackrel {{\bar {\partial }}_{2}}{\to }}\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8901589dfcac1f020821bdd1538b1b70d03e6f)
그 코호몰로지는 다음과 같이
-형식의 동치류 공간이다.
![{\displaystyle \operatorname {H} _{\bar {\partial }}^{p,q}=\ker {\bar {\partial }}_{q}/\operatorname {im} \,{\bar {\partial }}_{q-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b985fd8bb4fcbcef274291c1d24dacb747de07e7)
이를 돌보 코호몰로지(영어: Dolbeault cohomology)라고 부른다. 돌보 코호몰로지 공간의 (복소수 벡터 공간) 차원을 호지 수(영어: Hodge number)라고 부른다. 즉 호지 수
는 다음과 같다.
![{\displaystyle h^{p,q}=\dim \operatorname {H} _{\bar {\partial }}^{p,q}\in \mathbb {N} \sqcup \{\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf474707862fb338f5f20761ee88c72798aae822)
호지 수는 (복소수 벡터 공간의 차원이므로) 음이 아닌 정수 또는 무한대이다. 만약 복소다양체가 콤팩트하면 호지 수는 유한하다.
호지 수는 드람 코호몰로지의 차원인 베티 수
에 대응하며, 특히 다음이 성립한다.
![{\displaystyle b^{k}(M)=\sum _{p+q=k}h^{p,q}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2164cf03244187c681b9b1365067a2bdd6f58dd5)
차원 복소다양체는 총
개의 호지 수
![{\displaystyle h^{p,q}\qquad (p,q\in \{0,\dotsc ,n\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b624cfc12cb4856ebdd90dc69033b44e3072d816)
를 가진다. 이 가운데
은
의 연결 성분의 수이다. 또한, 콤팩트 연결 복소다양체의 경우 세르 쌍대성
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{q}(V,{\mathcal {O}})\cong \operatorname {H} ^{q}(V,\Omega ^{n,0})^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9410b4e0bbb9697b83c45fba5340ff991fb8fb)
에 의하여
![{\displaystyle h^{0,q}=h^{n,q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c35fda04633c07b79788a4f3d98f3368b2b7342)
가 성립한다.
만약
이 켈러 다양체의 구조를 가질 경우, 항상
![{\displaystyle h^{p,q}=h^{q,p}=h^{n-p,n-q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7eb31f9a9715d30a624bd20af40185a22fd6e4)
가 성립한다.
층 코호몰로지[편집]
돌보 복합체
![{\displaystyle 0\to \Omega ^{p,0}(M){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{p,1}(M){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{p,2}(M)\to \dotsb }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b970984db024a09301ae7cba39b3dfccf9689d)
는 섬세층으로 구성되며,
차 정칙 단면들의 층의 분해를 이룬다. 즉, 그 코호몰로지는
차 정칙 단면의 층의 층 코호몰로지와 같다.
![{\displaystyle \operatorname {H} _{\bar {\partial }}^{p,q}(M)\cong \operatorname {H} ^{q}(M,\Omega ^{p,0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1e80af22f14f2833dbed6a1630ed0f0c4b9986)
이를 돌보 정리(영어: Dolbeault's theorem)라고 한다. 특히, 만약
일 경우, 0차 정칙 미분 형식은 정칙 함수이므로, 돌보 복합체는 구조층의 코호몰로지를 계산한다.
이는 실수 미분 형식의 경우 드람 코호몰로지가 상수층
의 섬세한 분해를 이루는 것과 마찬가지다.
보다 일반적으로, 임의의 정칙 벡터 다발
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 돌보 복합체
![{\displaystyle 0\to \Gamma ^{\infty }(E)=\Omega ^{0,0}(M;E){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{0,1}(M;E){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{0,2}(M;E)\to \dotsb }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed37b89b193d35b3d04ac673ed9edcea5a1737f)
는
의 층 코호몰로지의, 섬세층으로 구성된 분해를 이루며, 그 돌보 코호몰로지는
의 층 코호몰로지와 일치한다. (
인 경우는 정칙 벡터 다발
의 층 코호몰로지이므로,
인 경우로 귀결된다.) 예를 들어
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(E)=\ker({\bar {\partial }}\upharpoonright \Omega ^{0,0}(M;E))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340b88ab5621ff9745928dfa3c9a883150348558)
는
인
값의 (0,0)차 미분 형식의 복소수 벡터 공간, 즉
의 정칙 단면의 복소수 벡터 공간이다.
리만 구
위의 모든 정칙 벡터 다발은 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle \bigoplus _{i}{\mathcal {O}}(d_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a407fbf39daa19b93b90485670c0fcf009923e)
여기서
는
차의 유일한 정칙 선다발이다. 이는 복소수 1차원이므로
은 표준 선다발과 같으며, 이는
이다. (리만-로흐 정리에 의하여, 종수
의 리만 곡면의 표준 선다발의 차수는
이며, 리만 구는
인 경우이다.)
리만-로흐 정리에 의하여,
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{0,0}(\operatorname {CP} ^{1})=\operatorname {H} ^{0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(0))=\mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367c7c8dce6622ccf0fd41b1073c733a2428dd53)
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{1,0}(\operatorname {CP} ^{1})=\operatorname {H} ^{0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cdf97a7b0c9619f13bcbe1bee347c50226b4dd3)
이다. 즉,
위에 대역적으로 정의되는 0차 정칙 미분 형식(즉, 정칙 함수)은 상수 함수 밖에 없다.
위에는 대역적으로 정의되는 1차 정칙 미분 형식이 존재하지 않는다.
마찬가지로,
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{1,1}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1})=\operatorname {H} ^{1}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))=\operatorname {H} ^{0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(2))^{*}\cong \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d085393b00fa853e3f58b0cf0fbd3e85b20a1f9)
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{0,1}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1})=\operatorname {H} ^{1}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(0))=\operatorname {H} ^{0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))^{*}=\operatorname {H} ^{1,0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1})^{*}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c2ee91aa0473ff93c8161916e62e93dd886bed)
이다. 여기서 세르 쌍대성을 사용하였다.
물론,
위의 (0,0)차 및 (0,1)차 및 (1,0) 차 및 (1,1)차 복소수 미분 형식들의 공간은 각각 무한 차원의 복소수 벡터 공간이다.
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