리 대수 이론에서, 보편 포락 대수(普遍包絡代數, 영어: universal enveloping algebra)는 주어진 리 대수의 리 괄호를, 결합법칙을 만족시키는 곱셈에 대한 교환자로 나타내는 대수이다.
보편 포락 대수의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
이 두 정의는 서로 동치이다.
구체적 정의[편집]
가환환
에 대한 리 대수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 텐서 대수
![{\displaystyle \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})=\bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathfrak {g}}^{\otimes _{K}n}=K\oplus {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\mathfrak {g}}\oplus \dotsb }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/621fc207c099c3a13e62390744e7929397e70665)
에 다음과 같은 원소들로 생성되는 양쪽 아이디얼
를 생각하자.
![{\displaystyle a\otimes b-b\otimes a-[a,b]\qquad \forall a,b\in {\mathfrak {g}}\subset T({\mathfrak {g}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c36056fb0cbb812a04d32384161f0d2580f39df4)
이 양쪽 아이디얼에 대한 몫대수
![{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})={\frac {\operatorname {T} ({\mathfrak {g}})}{\mathfrak {I}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/643867228ac744150c61c74d4609bf2ed272e465)
를
의 보편 포락 대수
라고 한다. 이는
-결합 대수를 이룬다.
이므로, 자연스러운
-선형 변환
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c58b36803e21c5ec53690b8f76f03a5c3c79f29e)
이 존재한다.
보편 포락 대수
는 텐서 대수
로부터 자연스럽게 호프 대수의 구조를 물려받는다. 즉, 모든
에 대하여, 호프 대수의 연산은 다음과 같다.
- 곱셈:
![{\displaystyle ab}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49337c5cf256196e2292f7047cb5da68c24ca95d)
- 단위원:
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
- 쌍대곱:
![{\displaystyle \Delta (a)=a\otimes 1+1\otimes a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17942f8f81f3f5ef76c0457695897dd570a0f947)
- 쌍대단위원:
![{\displaystyle \epsilon (a)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a170f245d66ecbc13d475f17d47d935c50fda66)
- 앤티포드:
![{\displaystyle S(a)=-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9825a22b02ef6b8e34f0614616e0a071a5a77847)
범주론적 정의[편집]
가환환
가 주어졌을 때,
-리 대수의 범주
와
-결합 대수의 범주
를 생각하자. 이 두 범주는 둘 다 대수 구조 다양체의 범주이다. 따라서, 망각 함자
![{\displaystyle \operatorname {Forget} \colon \operatorname {Assoc} _{K}\to \operatorname {LieAlg} _{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78dea33a9d7e6542fe517675de57443b9959fc4d)
![{\displaystyle (A,\cdot )\mapsto (A,[-,-]\colon (a,b)\mapsto a\cdot b-b\cdot a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d810da645e2820d41cff4d3ad2030bd5513a7e8)
는 왼쪽 수반 함자
![{\displaystyle \operatorname {U} \dashv \operatorname {Forget} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db737e943f60d29414244615d4fa6c3625a7de27)
![{\displaystyle \operatorname {U} \colon \operatorname {LieAlg} _{K}\to \operatorname {Assoc} _{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec438911336082e5a9f95f48e168923f2b95ebb)
를 갖는다. 리 대수의, 이 함자에 대한 상을 그 보편 포락 대수라고 한다.
보편 포락 대수의 쌍대 대수[편집]
보편 포락 대수는 쌍대 가환 호프 대수이므로, 그 쌍대 공간은 가환환을 이룬다. 이는 직접적으로 정의할 수 있다.
가 체
위의 유한 차원 리 대수라고 하자. 그렇다면, 보편 포락 대수를 정의하는
-벡터 공간의 짧은 완전열
![{\displaystyle 0{\mathfrak {I}}\to \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ff00155b7402a351b04f18190c525066ce9047)
은 다음과 같이 쌍대화된다. (이 경우 ‘쌍대 공간’은 등급별 쌍대 공간들로 구성된 등급 벡터 공간이다.)
![{\displaystyle 0\operatorname {U} ({\mathfrak {g}})^{*}\to \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})^{*}\to {\mathfrak {I}}^{*}\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cea8304e6c0d0f86ddc0fb0e79a9e674b1662e8b)
여기서
![{\displaystyle \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})^{*}=\operatorname {T} ({\mathfrak {g}}^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59360c1f80a75002635e81dd88f78058ce305b3a)
이며, 보편 포락 대수의 쌍대는 이러한 텐서 대수의 부분 대수이다. 구체적으로, 보편 포락 대수의 쌍대의 원소
![{\displaystyle p=\sum _{i=0}p_{i}\in \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0373566835801c5d50385030e2e812b01cdb383f)
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 각 자연수
에 대하여, 선형 변환 ![{\displaystyle p_{i}\colon {\mathfrak {g}}^{\otimes i}\to K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b6fb7437a61e6696c50faea5054e113e61f282)
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
![{\displaystyle \sup\{i\in \mathbb {N} \colon p_{i}\neq 0\}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2abfa611829aabcf708c0dc54bc51aab6232d14f)
![{\displaystyle p_{2+m+n}(x_{1},\dotsc ,x_{m},y,z,w_{1},\dotsc ,w_{n})-p_{2+m+n}(x_{1},\dotsc ,x_{m},z,y,w_{1},\dotsc ,w_{n})=p_{1+m+n}(x_{1},\dotsc ,x_{m},[y,z],w_{1},\dotsc ,w_{n})\qquad \forall m,n\in \mathbb {N} ,\;x_{1},\dotsc ,x_{m},y,z,w_{1},\dotsc ,w_{n}\in {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8092c63a92655bfe5c93a1df1025ac405d532e4c)
예를 들어
![{\displaystyle p_{2}(x,y)-p_{2}(y,x)=p_{1}([x,y])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd47421b1b8c2e8fcc83dd5aacefc3f0a72e779)
![{\displaystyle p_{3}(x,y,z)-p_{3}(x,z,y)=p_{2}(x,[y,z])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2367f0e7cc7640cda4bc21b5447b8e9580c55350)
![{\displaystyle p_{3}(x,y,z)-p_{3}(y,x,z)=p_{2}([x,y],z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed1a655420b47d15e174765bfeb9d612644eeb4)
이다. (
는 항등식에 등장하지 않는다.)
이 위의 가환환 구조는 다음과 같다.
![{\displaystyle (pq)_{0}()=p_{0}()q_{0}()}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/583db4efdc9f40ccae69ffac7f82b1dd2bad4b9a)
![{\displaystyle (pq)_{1}(x)=p_{0}()q_{1}(x)+p_{1}(x)q_{0}()}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6327438196c2fa829e55401371b987bceb05dfef)
![{\displaystyle (pq)_{2}(x,y)=p_{0}()q_{2}(x,y)+p_{1}(x)q_{2}(y)+p_{1}(y)q_{1}(x)+p_{2}(x,y)q_{0}()}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d13cc5b4fcf6321fda93916a5ed00ef0435851)
![{\displaystyle (pq)_{3}(x,y,z)=p_{0}()q_{3}(x,y,z)+p_{1}(x)q_{2}(y,z)+p_{1}(y)q_{2}(x,z)+p_{1}(z)q_{2}(x,y)+p_{2}(x,y)q_{1}(z)+p_{2}(x,z)q_{2}(y)+p_{2}(y,z)q_{2}(x)+p_{3}(x,y,z)q_{0}()}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd4be12f12d27ad48f19250929e07d41e73246e5)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
일반적으로
의 표현은
개의 항을 갖는다. 그 항등원은
![{\displaystyle e_{0}()=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e03520244530c8f5321e2914d2b5efed60aff5)
![{\displaystyle e_{i}=0\qquad \forall i>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8213381ad9bbbf84c11ed2e913db091ad0ab178)
이다.
환론적 성질[편집]
임의의 가환환
위의 아벨 리 대수의 보편 포락 대수는 가환환이다.
임의의 체
위의 리 대수의 보편 포락 대수는 영역이며, 만약 추가로 비아벨 리 대수라면
는 비가환환이다 (즉, 정역이 아니다).
연산과의 호환[편집]
체
위의 두 리 대수
,
의 직합
의 보편 포락 대수는 각 성분의 보편 포락 대수들의 (결합 대수로서의) 텐서곱이다.[1]:63, Corollary 1.2.4
![{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}})=\operatorname {U} ({\mathfrak {g}})\otimes _{K}\operatorname {U} ({\mathfrak {h}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da23f4e89f196d29ecf3d6e0dd2dd18a6a6d3032)
푸앵카레-버코프-비트 정리[편집]
푸앵카레-버코프-비트 정리(-定理, 영어: Poincaré–Birkhoff–Witt theorem)에 따라, 리 대수에서 그 보편 포락 대수로 가는 선형 변환은 단사 함수이다.
![{\displaystyle \iota _{\mathfrak {g}}\colon {\mathfrak {g}}\hookrightarrow U({\mathfrak {g}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2ecd133bc5f943dc34fb024ede550763df1894)
또한,
는 항상
로부터 생성된다.
구체적으로, 임의의 가환환
위의 리 대수
가 주어졌다고 하고,
가
-자유 가군이라고 하자.
의 (하멜) 기저
를 고르자. 또한,
위에 임의의 전순서를 부여하자.
그렇다면,
역시
-자유 가군이며, 집합
![{\displaystyle \left\{\iota _{\mathfrak {g}}(b_{1})\iota _{\mathfrak {g}}(b_{2})\dotsm \iota _{\mathfrak {g}}(b_{n})\colon n\in \mathbb {N} ,\;b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{n}\in B\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc30b818c76448a48b7063cf0b9013a1cc806bb)
은
의 (하멜) 기저를 이룬다. 여기서
은 자연수의 집합이며, 특히
일 경우 0개 항의 곱은 1이다.
하리시찬드라 동형 정리[편집]
복소수체 위의 가약 리 대수(영어: reductive Lie algebra)
의 보편 포락 대수
의 중심
을 생각하자. 이 경우, 바일 군
을 정의할 수 있다. 또한,
의 카르탕 부분 대수
를 고른다면,
는
위에 자연스럽게 작용하며, 나아가
위의 다항식환 (대칭 대수)
위에도 자연스럽게 작용한다.
하리시찬드라 동형 정리(हरीश चन्द्र同型定理, 영어: Harish-Chandra isomorphism theorem)에 따르면, 다음과 같은 표준적인 결합 대수 동형이 존재한다.
![{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {U} {\mathfrak {g}}))=(\operatorname {Sym} {\mathfrak {h}})^{\operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb741938f331b9bdc786239528d66ea44fb8d06)
여기서
는 바일 군의 작용에 불변인 원소들로 구성된 불변 부분 대수를 뜻한다.
카시미르 불변량[편집]
차원 복소수 단순 리 대수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 킬링 형식
![{\displaystyle B\in \operatorname {Sym} ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1780c62dc9821b1bb4ed3f0eb2af1c66457a98ec)
이 존재한다. 그렇다면, 임의의
-정규 직교 기저
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Span} \{X^{1},\dots ,X^{n}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bfc385906dd3fac0060db45b3eccba17f076cec)
![{\displaystyle B(X^{i},X^{j})=\delta ^{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26518af4af9de385db00baf52413ce4d55a5453)
가 주어졌을 때,
의 카시미르 불변량(Casimir不變量, 영어: Casimir invariant)은 다음과 같은 보편 포락 대수
의 원소이다.
![{\displaystyle C=\sum _{i=1}^{n}B(X^{i},X^{j})\in U({\mathfrak {g}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05ab97e5a94df092aa2398d0228570d002437dba)
보다 일반적으로, 체
위의 유한 차원 리 대수
위의 대칭 쌍선형 형식
![{\displaystyle B\in \operatorname {Sym} ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1780c62dc9821b1bb4ed3f0eb2af1c66457a98ec)
가 딸림표현 아래 불변이라고 하자. 즉, 다음 항등식이 성립한다고 하자.
![{\displaystyle B([X,Y],Z)+B(Y,[X,Z])=0\qquad \forall X,Y,Z\in {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d9584a4f3903756ae2ce7cccd948cdb6c1158e4)
그렇다면, 마찬가지로 카시미르 불변량
를 정의할 수 있다.
카시미르 불변량은 항상 보편 포락 대수의 중심에 속한다.
일 경우, 단일 연결 리 군
의 리 대수
위의 불변 대칭 쌍선형 형식
는
위의 리만 계량을 정의하며, 이에 대한 카시미르 불변량은
위의 라플라스-벨트라미 연산자
와 같다.
1880년대에 알프레도 카펠리(이탈리아어: Alfredo Capelli)가 리 대수
에 대한 푸앵카레-버코프-비트 정리를 증명하였다. 그러나 그의 업적은 오랫동안 알려지지 않았다. 1900년에 앙리 푸앵카레가 푸앵카레-버코프-비트 정리를 임의의 리 대수에 대하여 증명하였다.[2] 그러나 푸앵카레의 논문 역시 한동안 잘 알려지지 못했다.
이후 1937년에 개릿 버코프[3]와 에른스트 비트[4]가 독자적으로 푸앵카레-버코프-비트 정리를 재발견하였다. (버코프와 비트 둘 다 카펠리 및 푸앵카레의 업적을 인용하지 않았다.) 이후 이 정리는 “버코프-비트 정리”로 불리다가, 1960년에 니콜라 부르바키가 이를 “푸앵카레-버코프-비트 정리”(프랑스어: théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt)로 일컫기 시작하였다.[5]
하리시찬드라 동형 정리는 하리시찬드라가 증명하였다.
외부 링크[편집]