대수적 위상수학에서 톰 공간(Thom空間, 영어: Thom space)은 실수 벡터 다발에 하나의 “무한대” 점을 추가하여 얻는 위상 공간이다. 이를 사용하여 미분위상수학의 일부 대상들을 호모토피 이론의 기법으로 다룰 수 있다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 파라콤팩트 공간
- 차원 실수 벡터 다발
그렇다면, 각 올의 알렉산드로프 콤팩트화를 취하여, 초구 를 올로 하는 올다발 을 정의할 수 있다. 이제, 각 올의 콤팩트화 아래 추가된 점들을 한 점으로 붙인 것을 톰 공간 이라고 한다.
내적을 통한 정의[편집]
위에, 올별 임의의 연속 양의 정부호 내적
을 임의로 고르자. 이를 통하여, 임의의 에 대하여 올 의 닫힌 공
및 초구
을 정의할 수 있다. 이 둘은 위의 올다발을 이루며, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.
톰 공간은 다음과 같은 몫공간이다.
이는 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 밑점은 의 동치류이다.
연산에 대한 호환[편집]
두 파라콤팩트 공간 , 과 그 위의 두 유한 차원 벡터 다발
가 주어졌다고 하자. 곱공간 으로부터의 사영 사상
을 잡고, 각 벡터 다발의 사상과의 당김
을 구한다. 이들의 직합을 로 표기하겠다.
이 때 위 사상으로 정의되는 올다발의 톰 공간 는 각각의 톰 공간에 서로 분쇄곱을 취한 것과 위상 동형이다.
특히, 만약 가 한원소 공간 위의 (자명한) 벡터 다발이라고 하자.
그렇다면, 의 톰 공간은 초구이므로, () 다음을 얻는다.
여기서 은 축소 현수를 번 취한 것이다.
함자성[편집]
두 파라콤팩트 공간 위의 유한 차원 벡터 다발
및 연속 함수
위의 벡터 다발 사상
가 주어졌을 때, 자연스러운, 밑점을 보존하는 연속 함수
가 존재한다. 즉, 이는 유한 차원 벡터 다발의 범주에서 점을 가진 공간의 범주로 가는 함자
를 정의한다.
호몰로지[편집]
초구 다발 의 무한대 단면을 , 영단면을 라고 적자.
톰 공간의 축소 코호몰로지는 다음과 같은 상대 호몰로지와 같다.
톰 동형[편집]
유한 차원 실수 벡터 다발 및 음이 아닌 정수 에 대하여, 다음과 같은 -벡터 공간의 표준적인 동형 사상이 존재한다.
여기서 우변은 축소 코호몰로지이다. 이를 톰 동형(영어: Thom isomorphism)이라고 한다.
톰 동형은 구체적으로 어떤 원소
에 의한 합곱으로 주어진다.
만약 가 유향 벡터 다발이라면, 이는 임의의 가환환 계수에 대하여 존재한다.
자명한 벡터 다발[편집]
파라콤팩트 공간 위의 자명한 벡터 다발 의 톰 공간을 생각하자. 이 경우
이며,
이다. 여기서 은 초구 에 부여한 임의의 밑점으로, 공 의 경계에 속한다.
만약 가 에 분리된 밑점을 추가한 점을 가진 공간이라면, 이는
가 된다. 여기서 은 위상 동형이며, 는 점을 가진 공간끼리의 분쇄곱이다.
특히, 만약 일 경우 (0차원 벡터 다발), 톰 공간은
이다.
콤팩트 공간 위의 벡터 다발[편집]
콤팩트 공간 위의 벡터 다발 의 톰 공간 은 의 알렉산드로프 콤팩트화와 위상 동형이다.
톰 스펙트럼[편집]
분류 공간
위의 연관 벡터 다발
의 톰 공간을 다음과 같이 표기하자.
이들 사이에는 자연스러운 사상
이 존재하여, 스펙트럼 를 정의하는데, 이를 톰 스펙트럼이라고 한다.
르네 톰이 1954년에 도입하였다.[1]
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]