수학에서 유니터리 군(영어: unitary group)은 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는
.
복소수 힐베르트 공간
가 주어졌을 때, 유니터리 군
는
위의 유니터리 작용소들의 군이다.
만약
가
차원 힐베르트 공간일 경우, 그 위의 유니터리 군은
으로 쓴다. 이 경우, 유니터리 군은
유니터리 행렬로 구성되는 리 군이다. 즉,
![{\displaystyle \operatorname {U} (n)=\{M\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )|M^{\dagger }M=1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6996bbc6506159404f960ef49b6fd7fef5144f1)
이다.
유니터리 리 대수[편집]
유니터리 군
은
차원 실수 리 군이다. 그 리 대수는
![{\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)={\mathfrak {su}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e19fe4c5c672fa0ca416e88dfc4cf7be2695ba)
이다. 유니터리 행렬의 로그는 반에르미트 행렬(anti-Hermitian matrix)이므로,
는 반에르미트 행렬로 이루어져 있다.
군론적 성질[편집]
유니터리 군
의 중심은 다음과 같은 꼴의 대각 행렬이다.
![{\displaystyle \lambda 1_{n\times n}\qquad (\lambda \in \mathbb {C} ,\;|\lambda |=1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e4cfb82134352142157ec40a03c36909955b941)
유니터리 행렬의 행렬식은 그 절댓값이 1인 복소수이다. 즉
![{\displaystyle \det \colon U(n)\to U(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bfc14684dbaa527a9b432d1056ac5e029f7208)
인 군 준동형이 존재한다. 이에 대한 몫군은 특수 유니터리 군
이다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.
![{\displaystyle 1\to SU(n)\hookrightarrow U(n){\xrightarrow {\det }}U(1)\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3cf41400dd45853684c36e93fd8cc54879dc8d)
리 이론적 성질[편집]
유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다.
![{\displaystyle \{\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})\colon \lambda _{i}\in \operatorname {U} (1)\}\subset \operatorname {U} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5494e15b2e9e1c4b9e71741c5cc4e7ee51b9006d)
이에 대하여 유니터리 군의 바일 군은 대칭군
이며, 이는 원환면을 정의하는 기저 집합에 순열로 작용한다.
위상수학적 성질[편집]
모든 양의 정수
에 대하여, 유니터리 군
은 연결 실수 콤팩트 리 군이며, 그 기본군은 무한 순환군이다.
![{\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {U} (n))=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9cb338e7b503a0d6318188c4008b3e32cf1e5f2)
![{\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {U} (n))=\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1932ebd10beb4d2d8605789ca180efeb3729ea8e)
유한 차원 유니터리 군은 같은 차원의 복소수 일반선형군과 호모토피 동치이다.
![{\displaystyle \operatorname {U} (n)\simeq \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81279c3194000e6ecb82e543a393d165c2dde2a3)
호프 올뭉치
![{\displaystyle \operatorname {U} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n+1)\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5684227ecd91b012b9d3c612ef0a7a5c655c2ba4)
로 인하여, 만약
이라면
![{\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {U} (n))\cong \pi _{i}(\operatorname {U} (n+1))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99da1c7001cdcc7f058a9dc62522baccb3bb707)
이다.[1]:112 즉, 유니터리 군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.[1]:113
![{\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {U} (n))={\begin{cases}0&2\mid i\\\mathbb {Z} &2\nmid i\end{cases}}\qquad (i<2n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3095e8ff8b01954ca41b2f53e58531f5c34ac708)
이 주기성을 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이라고 한다.
불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.
군
|
π1
|
π2
|
π3
|
π4
|
π5
|
π6
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π7
|
π8
|
π9
|
π10
|
π11
|
π12
|
U(1) |
ℤ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0
|
U(2)
|
ℤ
|
0
|
ℤ
|
ℤ2 |
ℤ2 |
ℤ12 |
ℤ2 |
ℤ2 |
ℤ3 |
ℤ15 |
ℤ2 |
(ℤ2)2
|
U(3) |
ℤ |
0 |
ℤ
|
0
|
ℤ
|
ℤ6
|
U(4) |
ℤ |
0 |
ℤ |
0 |
ℤ
|
0
|
ℤ
|
U(5) |
ℤ |
0 |
ℤ |
0 |
ℤ |
0 |
ℤ
|
0
|
ℤ
|
U(6) |
ℤ |
0 |
ℤ |
0 |
ℤ |
0 |
ℤ |
0 |
ℤ
|
0
|
ℤ
|
이에 따라, 다음과 같은 무한 유니터리 군
을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {U} (\infty )=\varinjlim _{n}\operatorname {U} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9439068793724d395d0aa354ff4b5180814070c)
무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.
![{\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {U} (\infty ))={\begin{cases}0&2\mid i\\\mathbb {Z} &2\nmid i\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/266910d6895ff993541365eb532d44070d4970fc)
이에 따라, 무한 유니터리 군은 스스로의 2차 고리 공간과 호모토피 동치이다.[1]:112, Theorem 1
![{\displaystyle \operatorname {U} (\infty )\simeq \Omega ^{2}\operatorname {U} (\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec7e2f3a78240b394469f2c4e00d62769f7567d)
무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간
의 유니터리 군
는
와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때,
는 축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.[2]
![{\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {U} ({\mathcal {H}}))=0\quad \forall i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e5cdc8b9559821d3f5a14b6549cb953875848eb)
포함 관계[편집]
유니터리 군 U(1)은 원군이다. 이는 1차원 콤팩트 아벨 군이며, SO(2)와 같다. 이는 위상수학적으로 원
이다.
외부 링크[편집]
같이 보기[편집]