범주론에서 대각 사상(對角寫像, 영어: diagonal morphism)은 어떤 대상에서 그 거듭제곱으로 가는 표준적인 사상이다. 마찬가지로, 어떤 대상의 거듭쌍대곱에서 원래 대상으로 가는 쌍대 대각 사상(雙對對角寫像, 영어: codiagonal morphism)이 존재한다.
기수
및 범주
속의 대상
와 가 주어졌다고 하자. 만약
개의
들의 곱
이 존재한다고 하자. 그렇다면, 곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상
로부터 유도되는 사상
![{\displaystyle \operatorname {diag} _{X}\colon X\to X^{\times \kappa }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94db691431d5d0d1665300b01728a4392e3cb0a6)
이 존재한다. 이를 대각 사상이라고 한다. 만약
일 경우 이는 항등 사상
이며, 만약
일 경우 이는 끝 대상
으로 가는 유일한 사상
이다.
마찬가지로, 만약
개의
들의 쌍대곱
이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상
로부터 유도되는 사상
![{\displaystyle \operatorname {diag} _{X}\colon X^{\sqcup \kappa }\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943e6d851a8d1ce5b5ecccca57958aeba299cf53)
이 존재한다. 이를 쌍대 대각 사상(영어: codiagonal morphism)이라고 한다. 만약
일 경우 이는 항등 사상
이며, 만약
일 경우 이는 시작 대상
에서
로 가는 유일한 사상
이다.
집합의 범주[편집]
집합과 함수의 범주
는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합
과 기수
가 주어졌을 때, 곱집합
으로 가는 대각 함수는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {diag} _{X}^{\kappa }\colon X\to X^{\times \kappa }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/478aa142fc03045bceae84ee743fdf4ee99ce971)
![{\displaystyle \operatorname {diag} _{X}^{\kappa }\colon x\mapsto (\overbrace {x,x,\dots ,x} ^{\kappa })\in X^{\times \kappa }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c578ea02a19032bd8bd31c8d56b29a535b9376ae)
대각 사상의 치역을 대각 부분 집합(영어: diagonal subset)이라고 한다.
이며,
가 유한 집합이며,
에 임의의 전순서를 주면
의 원소는 변의 길이가
인 정사각 행렬의 한 성분으로 생각할 수 있다. 이 경우, 대각 사상은 모든 원소를 정사각 행렬의 (왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 가는) 대각선 위의 성분에 대응시키며, "대각 사상"이라는 이름은 이로부터 유래하였다.
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}\bullet \\-\\\vdots \end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\bullet &-&\cdots \\-&-&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73fa4aedec082a655b4a2b8ee5f4c598dee661d2)
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}-\\\bullet \\\vdots \end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-&-&\cdots \\-&\bullet &\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c9056468ec4d8746662d3c6a654496d1215e6e)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
작은 범주의 범주[편집]
작은 범주와 함자의 범주
는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 이 경우, 작은 범주
위의 대각 함자
![{\displaystyle \operatorname {diag} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c66d3cf56acdcaddf27fe346bb4ef66b19ed8402)
는 대상과 사상에 다음과 같이 작용한다.
![{\displaystyle \operatorname {diag} _{\mathcal {C}}\colon X\mapsto (X,X)\in {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb65a9cfe9ae0b054538686f1449bc10666ee1c)
![{\displaystyle \operatorname {diag} _{\mathcal {C}}\colon (f\colon X\to Y)\mapsto \left(f\times f\colon (X,X)\to (Y,Y)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c15e706c7fb07d47ba96d87634404db810ab5d)
조각 범주[편집]
범주
속의 대상
위의 조각 범주
를 생각하자. 조각 범주의 대상
의 대각 사상
은 (만약 존재한다면)
에서 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}X&{\overset {\operatorname {diag} _{f}}{\to }}&X\times _{A}X&{\overset {\operatorname {proj} _{1}}{\to }}&X\\&&{\scriptstyle \operatorname {proj} _{1}2}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\\&&X&{\underset {f}{\to }}&A\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a8b848a0685b1b6599c620caf001e3a1d6207c8)
즉, 이는 당김
에 대한 대각 사상
을 이룬다.
위상 공간의 범주[편집]
위상 공간의 범주
에서, 대각 사상
은 집합으로서의 대각 함수와 같으며, 대각 사상은 항상 그 상으로의 위상 동형을 정의한다.
위상 공간
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 하우스도르프 공간이다.
- 대각 사상
의 상이 닫힌집합이다.
스킴의 범주[편집]
스킴의 범주에서, 당김에 대한 대각 사상
는 다음과 같이 다양한 정의·정리들에 등장한다.
- 스킴 사상
에 대하여, 이에 대한 대각 사상
는 항상 스킴 몰입이다. 즉, 어떤 열린 몰입
및 닫힌 몰입
의 합성이다.
- 스킴 사상
에 대하여, 이에 대한 대각 사상
가 준콤팩트 함수라면
를 준분리 사상이라고 한다.
- 스킴 사상
에 대하여, 이에 대한 대각 사상
가 닫힌 몰입이라면
를 분리 사상이라고 한다.[1]:96 이는 대각 사상의 상이 닫힌집합인 것과 동치이다.[1]:96, Corollary II.4.2
- 국소 유한 표시 사상
에 대하여, 이에 대한 대각 사상
가 열린 몰입이라면
를 비분기 사상이라고 한다.[2]:65, Corollaire IV.17.4.2(c)
- 스킴 사상
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 사상을 보편 단사 사상(영어: universally injective morphism)이라고 한다.
- 임의의 스킴 사상
에 대하여, 밑 변환
이 단사 함수이다.
- 대각 사상
가 전사 함수이다.
외부 링크[편집]